A szűrt visszavetítés

A Szűrt visszavetítés

A Fourier inverziós képlet

Egy könnyebben felhasználható képlet reményében írjuk fel a 2D inverz Fourier-transzformációt:

$$ f(x,y)=\left (\frac{1}{2\pi} \right )^{2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \mathfrak{F}\left [ f \right ]\left ( \xi_{1} ,\xi_{2}\right )e^{i\mathbf{x} \boldsymbol{\xi }} d\xi_{1} d\xi_{2} = \left (\frac{1}{2\pi} \right )^{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathfrak{F}\left [ f \right ]\left ( r\boldsymbol{\omega} )\left | r \right | e^{ir\mathbf{x} \boldsymbol{\omega }}dr d\vartheta$

Behelyettesítve a Radon-transzformált t szerinti Fourier-transzformáltját:
$$f(x,y) = \left (\frac{1}{2\pi} \right )^{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathfrak{F}_{t}\left [ \mathfrak{R}f \right ]\left ( r\boldsymbol{\omega} )\left | r \right | e^{ir\mathbf{x} \boldsymbol{\omega }}dr d\vartheta$

Az eredményül kapott képlet lényegi egyszerűsödése abban áll, hogy az inverz Fourier-transzformáció már csak egydimenziós, és regulárisan mintavételezhető pontokra vonatkozik.

A Fourier inverziós képlet szűrési tagja

A képlet értelmezéséhez vegyük észre, hogy a $$\vartheta$ szerinti integrálás csak és kizárólag az utolsó transzformációban kap szerepet. Eddig a pontig a $$\vartheta$ változót tekinthetnék egyszerű paraméternek is. Tehetjük ezt az inverz Fourier-transzformáció elvégzése utánig, amikor is az inverz-Fourier transzformációval létrejövő új tértartománybeli változóba kell behelyettesíteni a $$\boldsymbol{x\omega}$ kifejezést. Felírjuk most a $$\vartheta$ szerinti integrálás előtti állapotot:

$$ \mathfrak{F}_{r}^{-1}\left [\mathfrak{F}_{t}\left [ \mathfrak{R}f\left ( t \right ) \right ]\left ( r )\left | r \right | \right ]$

Ez az egyszerűsített képlet tulajdonképpen az $$ \mathfrak{R}f\left ( t \right )$ 1D függvény Fourier-transzformáltja, melyet megszorzunk a frekvenciatér futóváltozójával |r| -rel, majd inverz Fourier-transzformálunk. Ez a folyamat valójában egy Fourier-térben elvégzett szűrést ír le, méghozzá felüláteresztő-alulvágó szűrőt.

A Fourier inverziós képlet visszavetítési tagja

Miután a szűrést elvégeztük, hozzáláthatunk a $$ \vartheta$ szerinti integráláshoz. A szűrést követően előállt függvény, melyet jelöljünk g-vel, változói: $$ (\boldsymbol{x}\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\omega})$ . Ekkor az integrál:

$$\int_{0}^{2\pi} g\left (\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{x} \right ,\vartheta) d\vartheta =\int_{0}^{2\pi} g\left (x\cos\vartheta+y\sin\vartheta ,\vartheta) d\vartheta$

Per definicionem a $$(t=x\cos\vartheta+y\sin\vartheta,\vartheta)$ olyan egyeneseket ír le a $$(t,\vartheta)$ térben, melyek az (x,y) pontban mennek át. Az integrál tehát az (x,y) ponton átmenő egyenesek által kijelölt projekciókat integrálja. Ez természetesen nem mond ellent az intuíciónknak, hiszen egy pontra vonatkozó információk összességét gyűjtjük össze ezzel az integrállal. Kipróbálhatjuk, hogyan néz ki egy Radon transzformált visszavetítése a szűrési lépés kihagyásával. Induljunk ki a következő eloszlásokból:

Csikó képe az (x,y) térben	Csikó képnének Radon-transzformáltja

Vetítsük vissza a Radon-transzformáltat a szűrési lépés elvégzése nélkül:

Visszavetítés szűrés nélkül

Látható, hogy a kép homályos, elfogadhatatlanul részletszegény lesz.

Jelöljük a visszavetítési lépés operátorát a következő szimbólummal: $$\mathfrak{R^{+}}$ . Ekkor felírhatjuk a Szűrt Visszavetítés lépéseit operátorformában:
$$ {R^{+}}\mathfrak{F}_{r}^{-1}\left [\mathfrak{F}_{t}\left [ \mathfrak{R}f \right ]\left ( r )\left | r \right | \right ]$

Példa: A szűrt visszavetítés lépései

Vegyük a lépéseket tehát sorban. 2D eloszlásunk legyen megint a következő fénykép, ezt a képet szeretnénk a Szűrt Visszavetítés eredményeképpen visszakapni:

Kiindulópontunk a fenti kép szinogramja, ez a szinogram reprezentálja példánkban a mért adatokat:

Operátorokkal kifejezve: $$ \mathfrak{R}f$

A szűrést minden egyes $$\vartheta$ mellett el kell végezni. Illusztrációképpen a 200. projekciót választottuk, mely képe:

Operátorokkal kifejezve: $$ \mathfrak{R}f(t, 2\pi*\frac{200}{360})$

Vegyük most ennek a projekciónak a Fourier-transzformáltját, melynek amplitúdóspektruma a következő lesz:

Operátorokkal kifejezve: $$ \mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f(t, 2\pi*\frac{200}{360})\right ]\left ( r \right )$

Ezt beszorozva |r|-rel, kapjuk a következő amplitúdóspektrumot:

Operátorokkal kifejezve: $$ \mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f(t, 2\pi*\frac{200}{360})\right ]\left ( r \right )\left | r \right |$

Ennek inverz Fourier-transzformáltja szolgáltatja majd a szűrt projekciót:

Operátorokkal kifejezve: $$ \mathfrak{F}_{r}^{-1}\left [\mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f(t, 2\pi*\frac{200}{360})\right ]\left ( r \right )\left | r \right | \right ](t, 2\pi*\frac{200}{360})$
Látható, hogy a grafikon nagyfrekvenciás komponensei erősödtek, azaz "élesedett" a görbe. Emellett a zajok is megnövekedtek. A konstans komponens teljesen eltűnt.

Végezzük most el a Fourier-transzformációt minden egyes projekcióra, ekkor a szög-frekvencia szinogram így fog kinézni:

Operátorokkal kifejezve: $$ \mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f(r,\vartheta )\right ]\left ( r \right ) ](t, \vartheta )$

Szorozzuk meg minden egyes projekciót |r|-rel, majd inverz Fourier-transzformáljunk. Ekkor kialakul a szűrt szinogram:

Operátorokkal kifejezve: $$\mathfrak{F}_{r}^{-1}\left [\mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f(t,\vartheta )\right ]\left ( r \right ) ](r, \vartheta )\left | r \right | \right ](t,\vartheta )$
Itt is látható, hogy a kép "élesedett", mikrokontrasztosabb lett a kiinduló szinogramhoz képest.

Ennek $$\vartheta$ szerinti integráljával elvégezve a. visszavetítést , megkapjuk a rekonstruálandó eloszlást (a csikót):

Operátorokkal kifejezve: $$\mathfrak{R^{+}}\left [\mathfrak{F}_{r}^{-1}\left [\mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f(t,\vartheta )\right ]\left ( r \right ) ](r, \vartheta )\left | r \right | \right ](t,\vartheta ) \right ]\left ( x,y \right )$

Gyakorlati megvalósítás

A gyakorlatban a fenti eljárásohoz képest két fontosabb eltérés is van:

a Fourier térben való szűrést gyakran felcserélik a valós térben való konvolúcióra
az |r| szűrő sajnos nem ideális, mert a zajokat is felerősíti ezért más szűrőtagok alkalmazása praktikus

A témákat a következő szakasz fejti ki.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

A szűrt visszavetítés