Válasz függvény megadása

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Függelék » Tételek, levezetések » Válasz függvény megadása

Az alábbi kiegészítésben azt mutatjuk meg, hogy a $ w(t) súlyfüggvénnyel rendelkező rendszer esetén miképp lehet megadni egy rendszer válaszát nem belépő függvény esetére, de az $$ \int_{-\infty}^{\infty} \left | f(t) \right |dt <\infty$ feltétel teljesülése mellett.

Tekintsük a mellékelt két ábrát:

Az $ f=f(t) függvényt közelítsük olyan Dirac-impulzusok sorozatával, melyekre igaz, hogy intenzitásuk:
$$ I_i=f(t_i)\Delta\tau_i\delta(t-t_i)$ , ahol $$ t \in \left [ t_i;t_{i+1} \right ]$

Legyen a $$ \Delta\tau_i$ infinitezimálisan kicsi, mely azt jelenti, hogy a rendszer válaszára jellemző paraméterértéknél is sokkal kisebb.
Egy ilyen megközelítésű impulzusra adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének ismeretében:

$$ y(t_i)=f(t_i)\Delta\tau_iw(t-t_i)$

Képezve az alábbi határátmenetet megkapjuk a teljes válaszfüggvényt a teljes valós térre vonatkozóan:

$$ y(t)=\lim_{ \begin{matrix} _{\Delta\tau_i \to 0} \\ _{i \to \infty } \end{matrix}} \sum_{i}y(t_i)=\lim_{ \begin{matrix} _{\Delta\tau_i \to 0} \\ _{i \to \infty } \end{matrix}} \sum_{i}f(t_i)\Delta \tau _iw(t-t_i)=\lim_{ \begin{matrix} _{\Delta\tau_i \to 0} \\ _{i \to \infty } \end{matrix}} \sum_{i}f(t_i)w(t-t_i)\Delta \tau _i$

$$ y(t)=\int_{-\infty}^tf(\tau)w(t-\tau)d\tau$

Vissza az 'Átviteli karakterisztika' című fejezethez

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Válasz függvény megadása

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English