Loading...
 
PDF Print

Szűrőtervezés a szűrt visszavetítéshez

A szűrt visszavetítés képletének gyakorlati szempontok szerint fontos általánosítása a Riesz-potenciálok helyett a szűrést mint konvolúciós formát igényli. Legyen $ g=\mathfrak{R}h Radon-transzformált n dimenzióban. Bizonyítsuk be, hogy
$ \mathfrak{R}^{+}g*_{\mathbf{x}}f=\mathfrak{R}^{+}\left [ g*_{t}\mathfrak{R}f \right ]
ahol a konvolúciók alsó indexei a konvolúció változóit jelentik.
A bal oldali konvolúció kiírva a szokásos jelölésekkel:
$\mathfrak{R}^{+}g*_{\mathbf{x}}f=\int\int g\left ( \mathbf{\left (x-y \right )\boldsymbol{\omega }}, \boldsymbol{\omega }\right )f\left ( \mathbf{y} \right )d\mathbf{y}d\boldsymbol{\omega }
Az y változó helyett térjünk át: $ \mathbf{y}=t\boldsymbol{\omega }+\mathbf{z}, itt z merőleges $\boldsymbol{\omega }-ra. Ekkor behelyettesítve:
$ \mathfrak{R}^{+}g*_{\mathbf{x}}f=\int \int\int g\left ( \mathbf{x\boldsymbol{\omega }}-t, \boldsymbol{\omega }\right )f\left ( t\boldsymbol{\omega }+\mathbf{z} \right )dtd\mathbf{z}d\boldsymbol{\omega }= \int\int g\left ( \mathbf{x}\boldsymbol{\omega }-t, \boldsymbol{\omega }\right )\mathfrak{R}f\left ( t,\boldsymbol{\omega } \right )dtd\boldsymbol{\omega }= \int g*_{t}\mathfrak{R}f\left ( \mathbf{x}\boldsymbol{\omega },\boldsymbol{\omega } \right )d\boldsymbol{\omega }=\mathfrak{R}^{+} g*_{t}\mathfrak{R}f\left ( \mathbf{x}\boldsymbol{\omega },\boldsymbol{\omega } \right )

Válasszuk most a következő V és v függvényeket:
$ V= \mathfrak{R}^{+}v
Behelyettesítve:
$V*_{\mathbf{x}}f=\mathfrak{R}^{+}\left [ v*_{t}\mathfrak{R}f \right ]

Keressünk most olyan V függvényt, mely egy adott sávszélességben jól közelíti a Dirac-deltát, mellyel az eredete f függvényünket adná vissza az integrál. Bizonyítható, hogy
$\mathfrak{F}V=\left |2\pi \xi \right |^{n-1}\mathfrak{F}v
tehát, ha V Fouruier-transzformáltja konstans bizonyos sávszélességen belül, v-re szűrőcsalád tervezhető. Ha a szűrőket csak sugárirányú függéssel látjuk el, a korábbi szűrt visszavetítési képleteket kaphatjuk meg.

 

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…