Single ráta, pileup, holtidő, random ráta

Tankönyv Fizikusoknak » Nukleáris medicina fizikusoknak » PET képalkotás » Single ráta, pileup, holtidő, random ráta

A PET egyik előnye hogy kvantitatív, tehát a szürkeárnyalatos kép pixel értékei az ott lévő aktivitással arányosak. Elvileg. Természetesen minden detektálásnak van holtideje, ezért minél nagyobb az aktivitás, annál kevésbé hatékony a detektálás. Ahhoz, hogy a holtidő miatti veszteségeket korrigálni tudjuk a végső képen, tudni kell, hogy mennyi volt a holtidő miatti veszteség. Ennek első lépéseként meg kell becsülni, hogy adott beütésszám mellett mennyi esemény ül egymásra, azaz érkezik olyan gyorsan egymás után, hogy az elektronika már nem tudja szétválasztani a két jelet.

Pileup
Hogyha egy detektorba egymás után gyorsan beérkezik két vagy több esemény, akkor az általuk generált jelek egymásra ülnek, ezt hívjuk pileupnak. A két jel összegéből nem, vagy csak nagyon nehezen és kétes pontossággal tudjuk meghatározni az egyes események beérkezési idejét és energiáját. Vizsgáljuk meg, hogy mennyi a pileup valószínűsége!
Egy detektort vizsgálunk. A detektorba érkező, és ott valóban felvillanást okozó eseményeket single beütésszámnak, single rátának hívjuk. A bomlások függetlenek, pileup valószínűsége ugyanannyi, mint amilyen valószínűséggel egy kiszemelt esemény pileupos lesz. Tegyük fel, hogy a "0." pillanatban jött be a kiszemelt eseményünk, kérdés hogy mi a valószínűsége annak, hogy a következő "t." talpszélességnyi (jelhossznyi) időben bejön még legalább egy másik esemény. Mivel az események függetlenek, ez pont annyi, mintha csak azt vizsgálnánk, hogy a 0,t intervallumban bejön-e legalább egy esemény (ezt jelöljük A-val). Azt hogy a 0. időpontban bejött egy esemény, jelölje B, ekkor a függetlenség miatt
$\mathcal{P}(A|B)=\mathcal{P}(A)$
Mint ahogyan a kocka dobás eredménye sem függ attól, mit dobtunk korábban. Tehát elég $\mathcal{P}(A)$ -t kiszámolni.

A Poisson-eloszlás paramétere, $\lambda$ , az időegységre jutó várható beütésszám, átírható időegységre jutó ráta és az időablak hosszának szorzataként. (Erre azért van szükség, mert a ráták cps-ben vannak, most viszont a természetes időegységünk a jelhossz, nem a másodperc.) Azaz ha tudjuk hogy 1 másodperc intervallumra $\lambda$ éppen a $cps\cdot 1sec$ értékkel egyenlő, akkor egy t talpszélességnyi intervallumra éppen $\boxed{\lambda_t=t\cdot cps}$ paraméterrel kell számolnunk. A jelhossz kb. 200 ns, az izotópok felezési ideje 9-11 nagyságrenddel több, a jel hossza alatt a ráta konstansnak tekinthető. Így annak valószínűsége, hogy egy talpszélességnyi intervallumban bejön egy esemény (hívjuk ezt A_1 -nek):
$\mathcal{P}(A_1)=\frac{\lambda_t^1}{1!}e^{-\lambda_t}. \label{egyszeres}$
Ha legalább egy eseménnyel számolunk, akkor össze kell adni azokat a valószínűségeket, hogy jön egy esemény, jön kettő, jön három, stb.
$\mathcal{P}(A)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_t^k}{k!}\cdot e^{- \lambda_t}= e^{- \lambda_t} \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_t^k}{k!}= e^{- \lambda_t} \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda_t^k}{k!}-1 \right)= \boxed{1-e^{- \lambda_t}}$
Az 1. ábrán látható 140 ns, 200 ns, 300 ns talpszélességre az így kiszámolt pile-up valószínűség a detektált single ráta függvényében. Ha megnézzük a fenti egyenletet, látható hogy a count rate és a talpszélesség a $\lambda_t$ -n keresztül jelenik meg benne, a pileup valószínűségét a $t\cdot cps$ szorzat határozza meg, a beütésszám és a jelhossz szorzata. Ez azt a követelményt jelenti az elektronikára nézve, hogy rövid jel kell, olyan előerősítőket kell tervezi, amik a PMT jelek felerősítése során nem nyújtják meg a jelet. Általában minél nagyobb az erősítés, annál kisebb egy erősítő sávszélessége, azaz annál jobban elveszítjük a nagyfrekvenciás komponenseket, a jel egyre hosszabb lesz. Ezért előnyös, ha a fotodetektor jele eleve elég nagy, (PMT, SiPM), és azon már nem kell sokat erősíteni (APD).

1. ábra: A pileup valószínűsége a detektált single ráta függvényében. Lentről felfelé a talpszélességek 140ns (p), 200ns (k), 300ns (f).

Holtidő
Tekintsük át nagy vonalakban mi történik egy esemény detektálását követően!

Minden detektált esemény trigger jelet generál (a diszkriminátorban), ennek hatására elindul a feldolgozó lánc; a mintavett értékek integrálása, Anger-pozíció számolás, stb.
Ha két esemény egymásra ül (pileup), mindkettőnek pontatlan lesz az integrálja és a beérkezési ideje.
A beérkező események mintavételezett adatait valamilyen cél hardware (általában FPGA) dolgozza fel. Ehhez valamennyi idő kell, és a számítások nem kezdődhetnek meg a jelek integrálása előtt.
Egyelőre egyetlen detektorról beszélünk; a koincidencia válogatás a detektálás után történik, a holtidő szempontjából minden detektor "önálló", az hogy egy eseményt detektálni tud vagy a holtidő miatt eldobja, nem függ attól, mi történt a többi detektorban.

Legyen a következő esemény válogatási stratégia modellünk: Ha két esemény annyira közel jön egymáshoz, hogy az elektromos jeleik még nem szétválaszthatók, dobjuk ki mind a kettőt.
Az eseményhossz legyen $t_{\mathrm{jel}}$ .
Mi ilyen feltételek mellett egy esemény túlélési valószínűsége? Vegyük észre, hogy ebben a modellben egy esemény pontosan akkor marad meg, ha előtte $t_{\mathrm{jel}}$ időtartamban nem jött egyetlen esemény sem, ami miatt ki kellene törölnünk, és utána $t_{\mathrm{jel}}$ időablakban nem jön egyetlen esemény sem. Mi a valószínűsége hogy egy $t_{\mathrm{jel}}$ intervallumban nem jön egyetlen esemény sem? Ennek pontosan a komplementer eseményét mondja meg az, ha jön legalább egy esemény! Ez alapján:
$\mathcal{P}_{\mathrm{elotte}}=1-\mathcal{P}(A)=e^{-cps\cdot(t_{\mathrm{jel}})}$
Hasonlóan, annak valószínűsége, hogy a kiszemelt esemény után sem jön másik esemény $t_{\mathrm{jel}}$ alatt ami miatt ki kellene törölnünk:
$\mathcal{P}_{\mathrm{utana}}=e^{-cps \cdot t_{\mathrm{jel}}}$
Az esemény pontosan akkor marad meg, ha mindkét feltétel teljesül és kapcsolattal, az események függetlenek:
$\mathcal{P}(\mathrm{megmarad})=e^{- (cps \cdot (2\cdot t_{\mathrm{jel}}))}$
Az események függetlensége miatt minden esemény ilyen valószínűséggel marad meg a vizsgált detektorban, így a holtidő miatt megmaradó ráta:
$cps_{\textrm{megmaradó}}=cps \cdot \mathcal{P}(\mathrm{megmarad})$
Általában $cps_{\textrm{megmaradó}}$ az amit mérünk, és ebből kell kiszámolni, hogy mennyi jöhetett be valójában. Valódi mérésben a koincidencia miatt eseménypárokat detektálunk, a holtidő viszont egyetlen detektort jellemez. Szerencsére egy koincidencia esemény pontosan akkor marad meg, ha mindkét "fele" mint single esemény, megmarad. Így tulajdonképpen minden LOR esetén meg kell nézni, hogy melyik detektorokat köti össze, és a korrekció során a detektorok single veszteségeinek a szorzatát kell figyelembe venni.
Természetesen más válogatási stratégiák esetén változhat a holtidő veszteség után megmaradó ráta formulájában szereplő paraméterek értéke, de a legtöbb esetben $e^{(-cps \cdot t_{\mathrm{eff}})}$ alakra hozható, valamilyen $t_{\mathrm{eff}}$ effektív holtidő bevezetésével. Formálisan a kifejezés olyan mint a pileup, de nem csak a jel hossza, hanem a számítások miatti holtidő, illetve stratégia is befolyásolja $t_{\mathrm{eff}}$ -et.

Véletlen koincidencia (random koincidencia)
Véletlen koincidenciáról akkor beszélünk, ha két olyan eseményt detektálunk egyidejűleg (időablakon belül), amik nem ugyanabból a bomlásból származtak. Ennek valószínűségét úgynevezett eltolt időablakos becsléssel határozhatjuk meg.
Legyen a koincidencia ablak szélessége $\pm \tau$ .
Képzeljük el, hogy bejött egy kiszemelt eseményünk az s_1 single rátával jellemezhető detektorba, és arra vagyunk kíváncsiak, hogy mennyi esemény érkezik egy másik, s_2 single rátájú detektorba, de nem a beérkezés időpontjához képest, hanem egy későbbi $t_{\mathrm{eltol}}$ időpont körüli $[t_{\mathrm{eltol}}-\tau,t_{\mathrm{eltol}}+\tau]$ intervallumba!
Ha $t_{\mathrm{eltol}}$ jóval nagyobb mint az időfelbontás, (pl. $1 \mus$ ) akkor ezek az események szinte biztosan nem a kiszemelt eseménnyel azonos bomlásból származtak. (Legfeljebb sokszoros szóródás után lenne lehetséges, de nagyon valószínűtlen.) Annak valószínűségét, hogy egy adott időablakban, adott s_2 single ráta mellett beérkezzen legalább egy esemény, a korábban levezetett, $\mathcal{P}(A)$ -val jelölt formula mondja meg. A formula levezetésénél kihasználtuk az események függetlenségét. Eltolt időablakban gondolkozva ez továbbra is fennáll, de a nulla körüli koincidencia ablakban a valódi koincidenciákra nem állna fenn. Most azonban a vizsgált időintervallum hosszára a korábbi talpszélesség helyett $2\tau$ -t kell használnunk. Az időablak sokkal kisebb mint a $\mathcal{P}(A)$ kifejezésben korábban használt jelhossz, így $\lambda$ kicsi, tehát a többszörös véletlen koincidenciák valószínűsége is kicsi ( $\lambda$ egyre magasabb hatványai), egyszerű kifejezésre jutunk.
A $\mathcal{P}(A)$ Taylor-sorában csak az egyszeres koincidenciának megfelelő tagot megtartva:
$\boxed{\mathrm{cps}_{\mathrm{random}}}= s_1 \cdot (1-e^{-(s_2 2 \tau)})\boxed{\approx s_1 \cdot s_2 \cdot 2 \tau. \label{random_koinc}}$

Megjegyzések:

A többszörös véletlen koincidenciák elhanyagolása nem csak az időablak negyságrendje miatt volt jogos, hanem azért is, mert a legtöbb koincidencia válogató automatikusan kidobja a többszörös koincidenciákat. (Nem lehet eldönteni hogy az eseményeket összekötő lehetséges LOR-ok közül melyek hamisak.)
Ha nagyobb a látótérben lévő aktivitás, akkor a detektorok single rátái ezzel arányosan nőnek (amíg a holtidő hatása még nem nagy), ez azt jelenti, hogy a random események rátája négyzetesen nő az aktivitással.
A random események számában a single ráták szerepelnek. Hogyha a látótéren kívül van aktivitás, azt koincidenciában elvileg nem kellene látnunk, de a single rátát növeli, így a randomok számát is. Humán PET-ben ennek nagy jelentősége van, mert a látómező kb. 15-20 cm, az emberi test nagy része ezen kívül esik, és a beadott aktivitás az egész testben szétterjed. Időablaktól függően előfordulhat, hogy a begyűjtött események 80%-a random koincidencia.
Jó időfelbontással az időablak csökkenthető, így a random események száma is.
A levezetés a függetlenségen keresztül használta ki az eltolt időablakot. A függetlenséget feltettük $\mathcal{P}(A)$ levezetésénél, és el nem tolt ablakban nem volna igaz.
A legtöbb berendezés valóban le tudja küldeni az eltolt időablakban mért eseményeket, vagy legalább a rátájukat, ilyenkor nem kell a single ráták alapján becsülni.

NEC (Noise Equivalent Count rate) görbe
Noise Equivalent Count rate, azaz zaj ekvivalens ráta. Láttuk, hogy a holtidő miatt az aktivitás növelésével a detektálási hatásfok romlik. A másik hasonló jellegű effektus, hogy a véletlen koincidenciák száma nő. Elvileg nagyobb aktivitással mérve jobb statisztikájú mérést kapunk, de a veszteségek miatt ez nem így van.
Jó lenne megbecsülni, mekkora aktivitást van értelme használni. A NEMA (National Electrical Manufacturers Association) rögzít egy standard eljárást ennek mérésére. Ennek lényege a következő: Egy olyan (standard) próbatesttel kell mérni hosszú ideig, ami úgy lett kialakítva hogy szórt és random események is garantáltan legyenek a mérés során. A kezdetben nagy aktivitással feltöltött próbatest (fantom) aktivitása lecseng, a randomok száma kis aktivitásoknál elhanyagolható, hiszen körülbelül négyzetesen függ az aktivitástól. A szórt események aránya feltehetőleg nem változik, így a random és a szórt események rátája meghatározható, végül:
$R_{\mathrm{NEC}}=\frac{R_{\mathrm{true}}^2}{R_{\mathrm{total}}}$
rátával próbáljuk jellemezni a hasznos beütésszámot.
Mostanában egyre nyilvánvalóbb, hogy a NEC nem túl hasznos mennyiség. Ad ugyan egy felső korlátot, de semmit nem mond a kép minőségéről, pusztán a beütésszámok ezt nem jellemzik. Nagyon sok berendezésben messze a NEC görbe csúcsa alatt elromlik a kép, várható hogy a következő standard revíziókor (évek múlva) bevezetnek egy pontosabb becslési eljárást.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Single ráta, pileup, holtidő, random ráta

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English