S6

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Függelék » Feladatok megoldásai » S6

Megoldás:

Ezen differenciál-egyenletünket a Laplace-transzformáció segítségével oldjuk meg! Képezzük differenciál-egyenletünk mindkét oldalának Laplace-transzformáltját!

$$ \mathcal{L}\left\{\frac{dy^{3}(x)}{dx^{3}}+5\frac{dy(x)}{dx}+8\frac{dy(x)}{dx}+4y(x)\right\} = \mathcal{L}\left\{1(x)\right\}$

$$ s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-y''(0)+5s^{2}Y(s)-5sy(0)-5y'(0)+8sY(s)-y(0)+4Y(s)=\frac{1}{s}$

Kihasználva a fentiekben adott peremfeltételeket adódik, hogy

$$ s^{3}Y(s)+5s^{2}Y(s)+8sY(s)+4Y(s)=\frac{1}{s}$

$$Y(s)=\frac{1}{s(s^{3}+5s^{2}+8s+4)}$

Ebből pedig láthatjuk, hogy a Laplace-transzformált $Y(s) -ből az $y(x) -t inverz Laplace-transzformációval adhatjuk meg.

$$ y(x)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s(s^{3}+5s^{2}+8s+4)}\right\}$
Első lépésként adjuk meg a nevező gyökeit:

$$ s(s^{3}+5s^{2}+8s+4)\begin{matrix} \quad \rightarrow & s_{1}=0\\ \quad \rightarrow & s^{3}+5s^{2}+8s+4=0 \end{matrix}$

A második egyenlet három gyöke közül az egyiket próbálgatással $s=-1 -re megtalálhatjuk, ugyanis $$(-1)^{3}+5(-1)^{2}+8(-1)+4=0.$
Így $$s^{3}+5s^{2}+8s+4=s^{3}+s^{2}+4s^{2}+4s+4s+4 = s^{2}(s+1)+4s(s+1)+4(s+1)=(s+1)(s^{2}+4s+4)=(s+1)(s+2)^{2}$

Így $$y(x)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s(s+1)(s+2)^{2}}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C_{1}}{s+2}+\frac{C_{2}}{(s+2)^{2}}\right\}$

Az $$1=A(s+1)(s+2)^{2}+Bs(s+2)^{2}+C_{1}s(s+1)(s+2)+C_{2}s(s+1)$ egyenletből adhatjuk meg az együtthatókat.

$$ \begin{matrix} s=0 & \text{ eset\'en: } & 1=A(0+1)(0+2)^{2} & \rightarrow & A=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\\ s=-1 & \text{ eset\'en: } & 1=B(-1)(-1+2) & \rightarrow & B=-1\\ s=-2 & \text{ eset\'en: } & 1=C_{2}(-2)(-2+1) & \rightarrow & C_{2}=\frac{1}{2} \end{matrix}$