Loading...
 
PDF Print

S5


Megoldás:

Ezen differenciál-egyenletünket a Laplace-transzformáció segítségével oldjuk meg!

$ \mathcal{L}\left\{\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}}+a^{2}y(x)\right\} = \mathcal{L}\left\{A\text{cos}(\alpha x)\right\}

$ s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+a^{2}Y(s) = A\frac{s^{2}}{s^{2}+\alpha^{2}}

Mivel a kezdeti feltételek olyanok voltak, hogy $y(0)=y'(0)=0, ezért

$ s^{2}Y(s)+a^{2}Y(s) = A \frac{s^{2}}{s^{2}+\alpha^{2}}

$ Y(s)\left[s^{2}+a^{2}\right]=A\frac{s^{2}}{s^{2}+\alpha^{2}}

$ Y(s)=A\frac{s^{2}}{(s^{2}+a^{2})(s^{2}+\alpha^{2})}

Ebből a kifejezésből pedig az $y(x) függvényt az inverz Laplace-transzformációval adhatom meg!

$ y(x)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{As^{2}}{(s^{2}+a^{2})(s^{2}+\alpha^{2})}\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{As^{2}}{(s+ja)(s-ja)(s+j\alpha)(s-j\alpha)}=

$ =\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A_{1}}{s+ja}+\frac{A_{2}}{s-ja}+\frac{A_{3}}{s+j\alpha}+\frac{A_{3}}{s-j\alpha}\right\} módon lehet megadni az $y(x) függvényt. Ez a parciális törtekre bontás mindig járható út, bár most nagyon hosszadalmasnak ígérkezik. Próbáljunk szerencsét más algebrai átalakítással.

$Y(s) = A\frac{s^{2}}{(s^{2}+a^{2})(s^{2}+\alpha^{2})}=A\frac{s^{2}(s^{2}+a^{2})-s^{4}-s^{2}(s^{2}+\alpha^{2})+s^{4}}{(s^{2}+a^{2})(s^{2}+\alpha^{2})}\frac{1}{a^{2}-\alpha^{2}}=\frac{A}{a^{2}-\alpha^{2}}\left[\frac{s^{2}}{s^{2}+\alpha^{2}}-\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}}\right]

Így most ezt inverz Laplace-transzformáljuk!

$ y(x)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A}{a^{2}-\alpha^{2}}\left[\frac{s^{2}}{s^{2}+\alpha^{2}}-\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}}\right] \right\} = \frac{A}{a^{2}-\alpha^{2}}\left[\mathcal{L}\left\{\frac{s^{2}}{s^{2}+\alpha^{2}}-\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}}\right\} \right]

$ y(x)=\frac{A}{a^{2}-\alpha^{2}}\left[\text{cos}(\alpha x)-\text{cos}(ax)\right]

 
(Vissza a feladatokhoz)

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…