Loading...
 
PDF Print

S3


Megoldás:

Tehát:

$ f(x)=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^{2}+3s+2}{(s-1)(s-2)^{3}(s-4)}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A_{1}}{s-2}+\frac{A_{2}}{(s-2)^{2}}+\frac{A_{3}}{(s-2)^{3}}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s-4}\right\}

Végezzük el első lépésben a parciális törtekre bontást!

$ \frac{s^{2}+3s+2}{(s-1)(s-2)^{3}(s-4)}= \frac{A_{1}}{s-2}+\frac{A_{2}}{(s-2)^{2}}+\frac{A_{3}}{(s-2)^{3}}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s-4} \quad \quad \bigg{/}\cdot(s-1)(s-2)^{3}(s-4)

$ s^{2}+3s+2 = A_{1}(s-2)^{2}(s-1)(s-4) + A_{2}(s-2)(s-3)(s-4) + A_{3}(s-1)(s-4) + B(s-2)^{3}(s-4) + C(s-2)^{3}(s-1)

Helyettesítsünk be az egyenletbe $s=2-t.

Így

$2^{2}+3\cdot 2+2 = A_{3}(2-1)(2-4)

$4+6+2 = A_{3}\cdot 1\cdot (-2)

$A_{3}=-6

Most ezután helyettesítsünk az egyenletbe $s=1-t, így megkapjuk $B értékét, ugyanis:

$1^{2}+3\cdot 1+2=B(1-2)^{3}(1-4)

$6 = B(-1)(-3)

$B=2

Ezután helyettesítsünk $s=4-t az egyenletbe, így megkaphatjuk $C értékét!

$4+3\cdot 4+2 = C(4-2)^{3}(4-1)

$30=24C

$\frac{5}{4}=C

Így $s^{2}+3s+2 = A_{1}(s-2)^{2}(s-1)(s-4)+A_{2}(s-1)(s-2)(s-4) - 6(s-1)(s-4)+2(s-2)^{3}(s-4)+\frac{5}{4}(s-2)^{3}(s-1)

$A_{1}-t és $A_{2}-t úgy határozzuk meg, hogy az egyenlőségbe először $s=0-t, majd $s=-1-t írunk és így kapunk két egyenletet két ismeretlennel.

$ \left.\begin{matrix} s=0 & \text{ eset\'en: } & -7 = 4A_{1}-2A_{2}\\ s=-1 & \text{ eset\'en: } & -9,25 = 3A_{1}-A_{2} \end{matrix}\right\} \begin{matrix} \\ /\cdot 2 \end{matrix} \left.\begin{matrix} \quad \rightarrow & -7=4A_{1}-2A_{2}\\ \quad \rightarrow & -18,5 = 12A_{1}-2A_{2} \end{matrix}\right\} kivonva a két egyenletet: $11,5 = -8A_{1}

Így $ \left.\begin{matrix} A_{1} & = & -1,4375\\ A_{2} & = & 0,625 \end{matrix}\right\}

Mivel minden együttható ismert a parciális törtben, végrehajthatjuk a Laplace-transzformációt.

Így
$f(x)=\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1,4375}{s-2}+\frac{0,625}{(s-2)^{2}}-\frac{6}{(s-2)^{3}}+\frac{2}{s-1}+\frac{5}{4} \frac{1}{s-4}\right\}

$f(x)=\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{23}{16}\frac{1}{s-2}+\frac{5}{8}\frac{1}{(s-2)^{2}}-\frac{6}{(s-2)^{3}}+\frac{2}{s-1}+\frac{5}{4} \frac{1}{s-4}\right\}

$f(x)=\left[-\frac{23}{16}e^{2x}+\frac{5}{8}xe^{2x}-\frac{6}{2!}x^{2}e^{2x}+2e^{x}+\frac{5}{4}e^{4x}\right]1(x)

$f(x)=\left[2e^{x}+\frac{5}{4}e^{4x}+\frac{5}{8}xe^{2x}-3x^{2}e^{2x}-\frac{23}{16}e^{2x}\right]

 
(Vissza a feladatokhoz)

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…