S2

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Függelék » Feladatok megoldásai » S2

Megoldás:
Az $f(x) függvény helyett az $$l(x)=e^{-\alpha x}e^{j\omega x}=e^{-(\alpha-j\omega)x}$ függvény Laplace-transzformáltját határozzuk meg.

$$ \mathcal{L}\left\{l(x)\right\} = \mathcal{L}\left\{e^{-(\alpha-j\omega )x}\right\} = \frac{1}{s+(\alpha-j\omega)}$ ; mert ismeretes, hogy $$\mathcal{L}\left\{Ae^{-\alpha x}\right\} = \frac{A}{s+\alpha}$

Alakítsuk át ezt egy kicsit!

$$ \left.\begin{matrix} \mathcal{L}\left\{l(x)\right\} = \frac{1}{s+(\alpha-j\omega)} = \frac{1}{(s+\alpha)-j\omega} = \frac{(s+\alpha)+j\omega}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}} = \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}}+j\frac{\omega}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}}\\ \\ \mathcal{L}\left\{l(x)\right\} = \mathcal{L}\left\{e^{-\alpha x}\text{cos}x+je^{-\alpha x}\text{sin}x\right\} = \mathcal{L}\left\{e^{-\alpha x}\text{cos}x\right\} + j\mathcal{L}\left\{e^{-\alpha x}\text{sin}x\right\} \end{matrix}\right\}$

Így $$ \mathcal{L}\left\{e^{-\alpha x}\text{cos}x\right\} + j\mathcal{L}\left\{e^{-\alpha x}\text{sin}x \right\} = \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}}+j\frac{\omega}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}}$

$$ \mathcal{L}\left\{e^{-\alpha x}\text{cos}x\right\} = \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}}; \quad \mathcal{L}\left\{e^{-\alpha x}\text{sin}x \right\} = \frac{\omega}{(s+\alpha)^{2}+\omega^{2}}$

(Vissza a feladatokhoz)

Export

Medical Imaging

Site Language: English

S2

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English