S11

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Függelék » Feladatok megoldásai » S11

Megoldás:

A parciális differenciálegyenlet a Laplace operátor kifejtése után az alábbi alakot ölti:
$$ \frac{\partial^2 U(x,y,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U(x,y,t)}{\partial y^2}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 U(x,y,t) }{\partial t^2}$

Képezzük az $ U(x,y,t) függvény Fourier-transzformáltját először x, majd y szerint.
$$ U(jp,jq,t)= \mathfrak{F}_y\left \{ \mathfrak{F}_x \left \{ U(x,y,t) \right \} \right \} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} U(x,y,t)e^{-jpx} e^{-jpy}dxdy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} U(x,y,t)e^{-j(p+q)}dxdy$

A Fourier-transzformáció képzési szabályából ismert:
$$ \mathfrak{F}\left \{ \frac{\mathrm{d}^n f(t))}{\mathrm{d} t^n} \right \}=(j\omega)^n\mathfrak{F}\left \{ f(t) \right \}$

Így a kiindulási parciális differenciálegyenlet mindkét oldalát Fourier-transzformálva adódik, hogy
$$ \mathfrak{F}_{x,y} \left \{ \frac{\partial^2 U(x,y,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U(x,y,t)}{\partial y^2} \right \} = \mathfrak{F}_{x,y} \left \{ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 U(x,y,t) }{\partial t^2} \right \}$

$$ \mathfrak{F}_{x,y} \left \{ \frac{\partial^2 U(x,y,t)}{\partial x^2} \right \} =(jp)^2 \mathfrak{F}_{x,y} \left \{ U(x,y,t) \right \} =-p^2U(jp,jq,t)$

$$ \mathfrak{F}_{x,y} \left \{ \frac{\partial^2 U(x,y,t)}{\partial y^2} \right \} =(jq)^2 \mathfrak{F}_{x,y} \left \{ U(x,y,t) \right \} =-q^2U(jp,jq,t)$

$$ \mathfrak{F}_{x,y} \left \{ \frac{\partial^2 U(x,y,t)}{\partial t^2} \right \} = \frac{\partial^2 U(jp,jq,t)}{\partial t^2}$

Mindezen összefüggésünket kihasználva a parciális differenciál egyenletünket az alábbi közönséges differenciálegyenletbe transzformáltuk át.
$$ \frac{\mathrm{d}^2 U(jp,jq,t) }{\mathrm{d} t^2} = -c^2(p^2+q^2)U(jp,jq,t)$

Ez pedig innen nem más, mint a jól ismert harmónikus oszcillátor differenciál egyenlete, melynek megoldása:
$$ U(jp,jq,t)= A\text{cos}(c\sqrt{p^2+q^2})t + B\text{sin}(c\sqrt{p^2+q^2})t$ alakú.

A peremfeltételek Fourier-transzformáltja:
$$ \left.\begin{matrix} U(jp,jq,0)= F(jp,jq) \\ \\ \left.\begin{matrix} \frac{\partial U(jp,jq,0) }{\partial t} \end{matrix}\right|_{t=0}=G(jp,jq) \end{matrix}\right\}$

$$ \frac{\partial U(jp,jq,0) }{\partial t}= \frac{\partial }{\partial t} \left [A\text{cos}(c\sqrt{p^2+q^2}t) + B\text{sin}(c\sqrt{p^2+q^2}t) \right ]_{t=0}=G(jp,jq)$

$$ \left [-Ac\sqrt{p^2+q^2}\text{sin}(c\sqrt{p^2+q^2}t)+ B c\sqrt{p^2+q^2}\text{cos}(c\sqrt{p^2+q^2})t \right ]_{t=0}=G(jp,jq)$

$$ Bc\sqrt{p^2+q^2}=G(jp,jq)$

$$ B(p,q)=\frac{G(jp,jq)}{ c\sqrt{p^2+q^2}}$

$$ \left.\begin{matrix} U(jp,jq,t) \end{matrix}\right|_{t=0}=F(jp,jq)= \left.\begin{matrix} \left [ A\text{cos}(c\sqrt{p^2+q^2})t + B\text{sin}(c\sqrt{p^2+q^2})t \right ] \end{matrix}\right|_{t=0}$

$ F(jp,jq)=A(p,q)

Így $$ U(jp,jq,t)=F(jp,jq) \text{cos}(c\sqrt{p^2+q^2})t + \frac{G(jp,jq)}{ c\sqrt{p^2+q^2}} \text{sin}(c\sqrt{p^2+q^2})t$

Az $ U(jp,jq,t) p,q szerinti inverz Fourier-transzformáltja adja az $ u(x,y,t) megoldást.
$$ u(x,y,t)= \mathfrak{F}_{p,q}^{-1}\left \{ U(jp,jq,t) \right \} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi}U(jp,jq,t)e^{j(px+qy)}dpdq$

$$ U(x,y,t)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \left [F(jp,jq) \text{cos}(c\sqrt{p^2+q^2})t + \frac{G(jp,jq)}{ c\sqrt{p^2+q^2}} \text{sin}(c\sqrt{p^2+q^2})t \right ]dpdq$

(Vissza a feladatokhoz)

Export

Medical Imaging

Site Language: English

S11

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English