Rendszerjellemző függvények matematikai leírása

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Laplace-transzformáció » Rendszerjellemző függvények matematikai leírása

A következő részekben lineáris koncentrált paraméterű rendszer modellek jellemzésére használt matematika eszközeit, módszereit foglaljuk össze. Kiindulásként használjuk fel az előzőekben az $$\textbf{\underline{L}}$ operátorral modellezett rendszer leírását. Következésképp, egy koncentrált paramáterű lineáris invariáns rendszer válasza egy $f=f(t) belépő bemenő függvény hatására:

$$\textbf{\underline{L}}y(t) = f(t)$ , ahol $$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\left|f(t) \right|}dt < \infty$ , valamint $$\textbf{\underline{L}} = \sum_{k=1}^{n}a_{k}\frac{d^{k}}{dt^{k}}$ ,

és a kezdeti feltételek: $$\frac{d^{m}y(t)}{dt^{m}}\bigg{|}_{t=0} = y_{m},$ ahol $m = 0,1,...,n-1

Így a rendszer válaszát leíró differenciál egyenlet:

$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}\frac{d^{k}y(t)}{dt^{k}} = f(t); \quad \frac{d^{m}y(t)}{dt^{m}}\bigg{|}_{t=0} = y_{m}; \quad m = 0,1,2,...,n-1$

Képezzük mindkét oldal Laplace-transzformáltját:

$$\mathcal{L}\left\{\sum_{k=0}^{n}a_{k} \frac{d^{k}y(t)}{dt^{k}}\right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}$

$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}\mathcal{L}\left\{\frac{d^{k}y(t)}{dt^{k}}\right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = F(s)$

A Laplace-transzformáció műveleti szabályából ismert, hogy

$$\mathcal{L}\left\{\frac{d^{k}y(t)}{dt^{k}}\right\} = s^{k}Y(s) - \sum_{k=1}^{n}s^{(n-k)} \frac{d^{(k-1)}y(t)}{dt^{(k-1)}}\bigg{|}_{t=0}$

Így $$\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left[s^{k}Y(s)-\sum_{m=1}^{k}s^{(m-k)}\frac{d^{(m-1)}y(t)}{dt^{m-1}}\bigg{|}_{t=0}\right] = F(s)$

$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left[s^{k}Y(s) - \sum_{m=1}^{k}s^{(m-k)}y_{m-1}\right] = F(s)$

$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}Y(s)s^{k}-\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left[\sum_{m=1}^{k}s^{(m-k)}y_{m-1}\right] = F(s)$

$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}Y(s)s^{k} = F(s) + \sum_{k=0}^{n}a_{k}\left[\sum_{m=1}^{k}s^{(m-k)}y_{m-1}\right]$

$$Y(s) = \frac{F(s) + \sum_{k=0}^{n}a_{k}\left[ \sum_{m=1}^{k}s^{(m-k)}y_{m-1}\right]}{\sum_{k=0}^{n}a_{k}s^{k}}$

A levezetésként kapott eredmény olvasta, hogy az állandó együtthatós lineáris differenciál egyenletünket (tágabb értelemben integro-differenciál egyenletünket) a kiterjesztett komplex frekvencia tartományban polinommá, a válasz $$-\;y=y(t) \text{ -t}\;-$ a kiterjesztett komplex frekvencia polinomok racionális törtfüggvényévé transzformáltuk (feltételezve, hogy $F(s) is egy polinom, illetve -ben racionális törtfüggvény alakban írható fel). Továbbá az a következtetés is levonható, hogy , mint kiterjesztett frekvencia operátor tulajdonsággal rendelkezik, hisz az -el végzett műveletek a paraméter térbe történő visszatranszformálás során újabb hozzárendelést, függvény műveletet jelent.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Rendszerjellemző függvények matematikai leírása

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English