Loading...
 
PDF Print

Radon-transzformált több dimenzióban és a Sugár-transzformált

A Radon-transzformált két dimenzióban a kétdimenziós lineáris elem (egyenes) mentén vett integrált jelenti. Több dimenzióban a lineáris geometria elem jelenthet egyenest és hipersíkot, ez utóbbi vezet a Radon-transzformált multidimenziós általánosításához, az előbbi a Sugár-transzformálthoz.

A Radon-transzformált több dimenziós alakja

Vegyük a $ \left(t,\boldsymbol{\omega} \right ), paraméterezésű hipersíkot ($\mathbf{H}_{\boldsymbol{\omega},t}\left ( \mathbf{s},\boldsymbol{\Omega_{\perp} } \right )), melynek egy y pontjai szerint végezzük el az integrált, $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n-1},\in \mathbf{H}_{\boldsymbol{\omega},t}\left ( \mathbf{s},\boldsymbol{\Omega_{\perp} } \right ), t\in \mathbb{R} , \boldsymbol{\omega}\in \mathbb{S}^{n-1}), ezzel felírhatjuk a Radon-transzformált definícióját egy n dimenziós függvényre:
$ \mathfrak{R}f\left ( t,\boldsymbol{\omega} \right )=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty } { f\left ( \mathbf{x} \right )\delta \left ( t-\boldsymbol{\omega} \mathbf{x} \right )}d\mathbf{x}= \int_{-\infty }^{\infty } { f\left ( t\boldsymbol{\omega}+ \mathbf{y} \right )}d\mathbf{y}

A Sugár-transzformált

Ha az integrátl t szerint végezzük el, azaz a hipersík helyett egy
$ \boldsymbol{\omega} irányú vonal menti integált végzünk el, a 2D Radon-transzformált egy másik lehetséges általánosítását kapnánk, melyet Sugár-transzformáltnak hívunk. A fenti definíciók megtartásával, a $ \mathfrak{P} Sugár-transzformált definíciója:
$ \mathfrak{P}f\left ( \mathbf{x},\boldsymbol{\omega} \right )= \int_{-\infty }^{\infty } { f\left ( t\boldsymbol{\omega}+ \mathbf{x} \right )}dt

ahol elégséges x értékeit az $ \boldsymbol{\omega}vektorra merőleges síkokról választani.

A definíciók ismeretében megkonstruálhatjuk a Radon-, illetve Sugár-transzformáltak inverzét.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…