Loading...
 
PDF Print

Racionális valódi törtfüggvény visszatranszformálása

A racionális törtfüggvény nevezőjét írjuk fel gyöktényezős alakba:

$N(S) = a(s-s_{1})(s-s_{2})...(s-s_{N}) = a \prod_{k=1}^{N}(s-s_{k})

Ez alapján, ha $s_{1};s_{2};...;s_{N} egyszeres gyökök, akkor

$\frac{P(s)}{N(s)} = \frac{A_{1}}{s-s_{1}} + \frac{A_{2}}{s-s_{2}} + ... + \frac{A_{N}}{s-s_{N}} = \sum_{k=1}^{N}\frac{A_{k}}{s-s_{k}} módon írhatjuk fel, ahol az $A_{N} együtthatók eképp adhatók meg:

$A_{k} = \frac{(s-s_{k})P(s)}{N(s)}\bigg{|}_{s=s_{k}} = \frac{P(s_{k})}{N_{N-1}(s_{k})}

Ez alapján, illetve a Laplace-transzformáció csillapítási tételét felhasználva megkaphatjuk az $y(t) rendszer válasz függvényét egy $f(t) bemenő függvényre:

$y(t) = C_{0} \delta (t) + \mathcal{L}^{-1}\left\{\sum_{k=1}^{N}\frac{A_{k}}{s-s_{k}}\right\} = C_{0} \delta (t) + \sum_{k=1}^{N}A_{k}e^{s_{k}t} = C_{0} \delta (t) + \sum_{k=1}^{N}}\frac{P_{k}(s_{k})}{N_{N-1}(s_{k})}e^{s_{k}t}

Még nézzük meg azt az esetet, amikor például az $s_{1} pólus $(N(s) gyöke$) többszörös, azaz M-szeres.

Ekkor $ \frac{P(s)}{N(s)}=\frac{B_1}{s-s_1}+\frac{B_2}{(s-s_1)^2}+\tex{...}+\frac{B_M}{(s-s_1)^M}+\frac{A_2}{s-s_2}+\frac{A_3}{s-s_3}+\tex{...}+\frac{A_N}{s-s_N}
alakba írható fel valódi racionális törtfüggvényünk.

$ \frac{P(s)}{N(s)}= \sum_{i=1}^{M}\frac{B_i}{(s-s_i)^i}+\sum_{k=2}^{N}\frac{A_k}{s-s_k}

Ebben az esetben a válaszfüggvény:
$ y(t)=C_0\delta(t)+ \sum_{i=1}^{M}B_i\frac{t^{i-1}}{(i-1)!}+ \sum_{i=1}^{N}A_ke^{s_kt} módon kapható meg, ahol $ B_i=\frac{1}{(M-L)!}\frac{d^{M-i}}{ds^{M-i}} \left [ (s-s_1)^M\frac{P(s)}{N(s)} \right ]_{s=s_1} módon kapható meg.

Kihasználtuk még továbbá azt is, hogy
$ \mathcal{L} \left \{ \frac{1}{s^n} \right \} = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} és $ \mathcal{L} \left \{ \frac{B}{(s-s_k)^j} \right \} =\frac{B}{(j-1)!}t^{j-1}e^{s_1t}

A kapott eredményből levonható az a következtetés, ha egy koncentrált parametrikus lineáris invariáns rendszer modellt jellemző operátor "L" felépíthető a belső struktúrák ismeretében (állandó együtthatós integro-differenciál egyeletek alapján), akkor megadott bemenő függvényekre ismert kezdeti feltételek esetén a kimeneti válaszok a fentiekben leírt módon származtatható. E módszer általánosításával az adott rendszer tulajdonságai a teljes kiterjesztett és valós frekvencia tartományban, illetve a valós paramétertérben jellemezhetők.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…