Planáris leképezés lineáris rendszerként

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Planáris leképezés lineáris rendszerként

(Légrády Dávid)

A planáris leképezés felírható lineáris rendszerként a következőképpen. A részecskék forrását helyezzük az origóba (lásd ábra), a z tengely mentén pedig helyezzünk el 1-1 síkot a leképezendő objektumnak és a detektornak. Tekintsük most a h forráseloszlást, a leképezendő f objektum áteresztőképességét és a detektoron kialakult g képet 2D objektumnak, hogy a 3D projekciók alapvető vetítési tulajdonságait elemei szerint is vizsgálhassuk.

Planáris vetítés geometriája

A detektorsíkra merőlegesen haladó részecskék árama ekkor:
$$ g\left ( x_{d},y_{d} \right )=\frac{\cos \left ( \vartheta \right )}{4\pi R^{2}}\int h\left ( x_{s},y_{s} \right )f\left ( x_{o},y_{o} \right ) dxdy$

ds a vonalmenti integrált jelenti. Az integrált az eddig alkalmazott nomenklatúra helyett a nagyítási faktorok jobb kimutathatósága érdekében a z tengely menti távolságot a síkok távolságával írjuk fel. A hasonló háromszögekkel:
$$ \frac{x_{0}-x_{s}}{s_{0}}=\frac{x_{d}-x_{0}}{s_{d}}$
Átrendezve:
$$ x_{0}=\frac{x_{d}s_{0}+x_{s}s_{d}}{s_{0}+s_{d}}$
Jelöljük M-mel a következő kifejezést:
$$M=\frac{s_{0}+s_{d}}{s_{0}}$
Behelyettesítve és átrendezve láthatjuk, hogy ez
$$ x_{d}=Mx_{0}-\left (M-1 \right )x_{s}$
azaz a detektoron kapott koordináta kifejezhető, mint az objektum-koordináta M-szerese, tehát M-et hívhatjuk a nagyításnak. Ugyanezzel a logikával (M-1) a forrás nagyítása, negatív előjele pedig arra utal, hogy a forrás képe fordított lesz a detektorfelületen. A továbbiakban hanyagoljuk el a koszinuszos tagot, jogosan tesszük, ha kellően kicsi a hozzátartozó szög.
$$ g\left ( x_{d},y_{d} \right )=\frac{1}{4\pi R^{2}}\int \int h \left( x_{s},y_{s} \right )f \left( \frac{1}{M}\left (x_{d}+\left ( M-1 \right )x_{s} \right ),\frac{1}{M}\left (y_{d}+\left ( M-1 \right )y_{s} \right ) \right )dx_{s}dy_{s}$
Térjünk át új integrálási változókra:
$$ x^{'}=-\left ( M-1 \right )x_{s}$
$$ y^{'}=-\left ( M-1 \right )y_{s}$
mellyel tulajdonképpen a detektorsíkra vetített koordináták szerinti integrálásra térünk át. Tehát:
$$ g\left ( x_{s},y_{s} \right )=\frac{1}{4\pi R^{2}\left ( M-1 \right )^{2}}\int \int h \left( -\frac{x'}{M-1},-\frac{y'}{M-1} \right )f \left( \frac{1}{M}\left (x_{d}-x' \right ),\frac{1}{M}\left (y_{d}-y' \right ) \right )dx'dy'$
Azaz a planáris vetítés felírható konvolúciós formában:
$$ g\left ( x_{s},y_{s} \right )=\frac{1}{4\pi R^{2}\left ( M-1 \right )^{2}}h \left( -\frac{x'}{M-1},-\frac{y'}{M-1} \right )*\mid _{x}*\mid _{y}f \left( \frac{x'}{M} ,\frac{y'}{M} \right ) \right )$

Példa: pinhole kollimátor (camera obscura)

Ha a leképező objektum áteresztőképessége pontszerű:
$$ f=\delta\left (x \right ) \delta \left ( y \right )$
Behelyettesítve:
$$ g\left ( x_{s},y_{s} \right )=\frac{1}{4\pi R^{2}\left ( M-1 \right )^{2}}h \left( -\frac{x'}{M-1},-\frac{y'}{M-1} \right )*\mid _{x}*\mid _{y}\delta \left ( \frac{x'}{M} \right ) \delta \left( \frac{y'}{M} \right ) \right )= \frac{M^{2}}{4\pi R^{2}\left ( M-1 \right )^{2}}h \left( -\frac{x'}{M-1},-\frac{y'}{M-1} \right )$

azaz, ha a leképező objektumunk pontszerű, a kialakult kép a forrás fordított, és nagyított képe.

Ezzel a formalizmussal a forrás, a tárgy és a detektor átvitelét is modellezhetjük, Fourier-tartományban természetesen szorzatként. Ha a planáris leképezések térbeli objektumok leképezései, a nagyítási faktor szerint is integrálnunk kell, ez a szemléletes képe a nagyítás változása figyelembevételének kiterjedt testek projekcióinál.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Planáris leképezés lineáris rendszerként

Példa: pinhole kollimátor (camera obscura)

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English