Parzeval-tétel kifejtése

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Függelék » Tételek, levezetések » Parzeval-tétel kifejtése

Az alábbiakban azt mutatjuk meg, hogy maga az $f(t) függvény, illetve annak energiatartalma miként határozható meg a komplex spektrum reális, illetve imaginárius részek ismeretében.
A komplex spektrum a Fourier-transzformációval nyerhető:

$$ F(j\omega) = \mathfrak{F}\left\{f(t)\right\}$

ahol $$ \left.\begin{matrix} 2Re\left[F(j\omega) \right ]= A(\omega)\\ -2Im\left[F(j\omega)\right]=B(\omega) \end{matrix}\right\}$

Ezen jelölések bevezetésével $$F(j\omega)$ eképp írható fel:

$$ F(j\omega) = \frac{A(\omega)-B(\omega)}{2}$

Következésképpen az $$ F(j\omega) = \left|F(j\omega)\right|e^{+jarcF(j\omega)}$ az $$A(\omega)$ és $$B(\omega)$ paraméterekkel az alábbiak szerint fejezhető ki:

$$ \left | F(j\omega) \right | = \frac{1}{2}\sqrt{A^{2}(\omega)+B^{2}(\omega)}$ és $$ arcF(j\omega)=-arctg\frac{B(\omega)}{A(\omega)}$

$$ \left.\begin{matrix} F(j\omega)=\mathfrak{F} \left \{F(j\omega){ \right \} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\\ \\ F(j\omega)=\frac{A(\omega)-jB(\omega)}{2} \end{matrix}\right\} \rightarrow A(\omega)-jB(\omega) = 2 \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

Az $$e^{-j\omega t}$ -re vonatkozóan alkalmazzuk az Euler-relációt: $$e^{-j\omega t} = \text{cos}(\omega t)-j\text{sin}(\omega t)$

$$A(\omega)-jB(\omega) = 2 \left[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\right] = 2\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\text{cos}(\omega t)dt-j\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\text{sin}(\omega t)dt\right]$

$$A(\omega) = 2\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\text{cos}(\omega t)dt; B(\omega) = 2\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\text{sin}(\omega t)dt$ . Ezen összefüggésekből leolvasható, hogy $$A(-\omega) = A(\omega)$ azaz $$A(\omega)$ páros, míg $$B(-\omega) = -B(\omega)$ páratlan függvények.

$$A(\omega);B(\omega)$ és az inverz Fourier-transzfomáció formulája alapján f(t) eképp írható fel:

$$f(t) = \mathfrak{F}^{-1}\left\{F(j\omega)\right\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{A(\omega)-jB(\omega)}{2}e^{j\omega t}d\omega = \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[A(\omega)-jB(\omega)\right]\left[\text{cos}(\omega t)+j\text{sin}(\omega t)\right]d\omega$

$$f(t) = \frac{1}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left[A(\omega)\text{cos}(\omega t)+B(\omega)\text{sin}(\omega t)\right]d\omega + \frac{1}{4\pi}j\int_{-\infty}^{\infty}\left[A(\omega)\text{sin}(\omega t)-B(\omega)\text{cos}(\omega t)\right]d\omega$

Mivel $$A(\omega)$ is és $$\text{cos}(\omega t)$ páros illetve $$B(\omega)$ és $$\text{sin}(\omega t)$ páratlan, ezért szorzatuk eredménye mindkét esetre vonatkozóan páros lesz. Ennek következménye, hogy az impropius integrál ezen része páros függvényen történik. Teljesen analóg módon belátható, hogy az impropius integrál másik tagja páratlan függvényen történik, és így ezen rész impropius integrálja 0.

Így $$f(t) = \frac{1}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left[A\text{cos}(\omega t) + B\text{sin}(\omega t)\right]d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\text{cos}(\omega t)+B(\omega)\text{sin}(\omega t)\right]d\omega$ kifejezhető az $$A(\omega)$ és $$B(\omega)$ ismeretében.

Az $f(t) függvény energiatartalma:

$$ E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left|F(j\omega)\right|^{2}d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{4}\left[A^{2}(\omega) + B^{2}(\omega)\right]d\omega = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{4}\left[A^{2}(\omega)+B^{2}(\omega)\right]d\omega =$

$$= \frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\infty} \left[A^{2}(\omega)+B^{2}(\omega)\right]d\omega$

hiszen $$F(j\omega) = \frac{A(\omega)-jB(\omega)}{2}$ és $$ \left|F(j\omega)\right|^{2} = \frac{1}{4}\left[A^{2}(\omega) + B^{2}(\omega)\right]$

Vissza a 'Fourier-transzformáció' című fejezethez

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Parzeval-tétel kifejtése

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English