Példa Maximum-Likelihood becslésre

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Képrekonstrukció algebrai összefüggésekkel » Statisztikai alapú képrekonstrukciós stratégiák » Példa Maximum-Likelihood becslésre

Példa Maximum-Likelihood becslésre

Vegyünk N db y_i mérési eredményt, melyek feltehetőleg függetlenek egymástól, de azonos folyamat eredményeként jöttek létre, mely leírható egy $$ \mu$ várható értékű, $$ \sigma$ szórású normális eloszlással:
$$ \wp \left ( y_{i}\mid\mu ,\sigma \right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}} e^{-\frac{\left ( y_{i}-\mu \right )^{2}}{2\sigma^{2}}}$
A független y_i események együttes valószínűség-sűrűség függvénye az egyedi valószínűség-sűrűség függvények szorzata:
$$ \wp \left ( \mathbf{y}\mid\mu ,\sigma \right) =\prod_{i=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}} e^{-\frac{\left ( y_{i}-\mu \right )^{2}}{2\sigma^{2}}}=\left [\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}} \right ]^{N} e^{-\sum_{i=1}^{N}\frac{\left ( y_{i}-\mu \right )^{2}}{2\sigma^{2}}}$

Ebből a log-likelihood-függvény:
$$ \ln \wp \left ( \mathbf{y}\mid\mu ,\sigma \right) =\frac{N}{2}\ln \left ( \frac{1}{2\pi \sigma ^{2}} \right )-\sum_{i=1}^{N}\frac{\left ( y_{i}-\mu \right )^{2}}{2\sigma^{2}}$

Keressük a maximumot a paraméterek szerinti deriváltakat nullával egyenlővé téve:
$$ \partial _{\mu } \ln \wp \left ( \mathbf{y}\mid\mu ,\sigma \right) =-\sum_{i=1}^{N}\frac{\left ( y_{i}-\mu \right )}{\sigma^{2}}=0$
ebből becslésünk $$ \mu$ -re:
$$ \widehat{\mu}=\sum_{i=1}^{N}\frac{ y_{i} }{N}$
a mért adatok átlaga. A $$ \sigma$ szerinti parciális derivált:
$$ \partial _{\sigma }\ln \wp \left ( \mathbf{y}\mid\mu ,\sigma \right) =-\frac{N}{\sigma}-\sum_{i=1}^{N}\frac{\left ( y_{i}-\mu \right )^{2}}{\sigma^{3}}=0$
ebből:
$$ \widehat{\sigma}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\frac{\left ( y_{i}-\mu \right )^{2}}{N}$

A teljesség kedvéért megemlítjük, hogy a szórásnégyzetre kapott képletben még van egy ismeretlenünk, $$ \mu$ , melyet kézenfekvő volna $$\widehat{\mu}$ -vel helyettesíteni. Mint ismeretes, ezzel a behelyettesítéssel a szórás becslése torzított lesz, melyet korrigálhatunk egy N/(N-1)-es szorzófaktorral.

A továbbiakban folytatjuk a becsléselméleti megfontolásainkat a Bayes-becslés tárgyalásával.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Példa Maximum-Likelihood becslésre

Példa Maximum-Likelihood becslésre

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English