Nevezetes függvények Laplace-transzformáltja

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Laplace-transzformáció » Nevezetes függvények Laplace-transzformáltja

Az alábbiakban néhány igen fontos alapfüggvény Laplace-transzformáltját adjuk meg, mely az előzőekben használt módszerek alapján igazolhatók.

a) Dirac delta $$ f(t)=\delta(t)$

$$ \mathcal{L} \left \{ \delta(t) \right \}= 1$

b) Heavyside egységugrás $ f(t)=1(t)

$$ \mathcal{L} \left \{ 1(t) \right \}= \frac{1}{s}$

c) Hatvány függvény $ f(t)=t^n

$$ \mathcal{L} \left \{ t^n \right \}= \frac{n!}{s^{n+1}}$

d.) Exponenciális függvény $$f(t) = e^{-\gamma t}$ , ahol $$\gamma \in \Gamma$

$$\mathcal{L}\left \{e^{-\gamma t}\right \} = \frac{1}{s+\gamma}$

e.) $$f(t) = \text{cos}(\omega t)$ harmónikus oszcillátor

$$\mathcal{L}\left \{\text{cos}(\omega t)\right \} = \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}$

f.) $$f(t)=\text{sin}(\omega t)$ harmónikus oszcillátor

$$\mathcal{L}\left\{ \text{sin}(\omega t)\right \} = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}$

g.) Belépő periódikus függvény Laplace-transzformáltja. Ennek származtatásához tekintsük az alábbi 29. ábrát és 30. ábrát.

29. ábra

30. ábra

Az $f(t) periódikus beépő függvény egyetlen periódusát jelölje $$f_{T} = f_{T}(t)$ , ahol $$f_{T}(t) =\begin{Bmatrix} f(t), & \text{ ha } & 0 \leq t<T\\ 0, & \text{ k\$

A 29. ábrán látható periódikus függvény előállítható az $$f_{T} = f_{T}(t)$ egyetlen periódus $T; 2T; 3T; ... ;kT; ... eltolásával és szuperpozíciójával. Mindez analitikusan eképp fejezhető ki:

$$f(t) = f_{T}(t)+f_{T}(t-T)+f_{T}(t-2T)+...+f_{T}(t-kT) = \sum_{k=0}^{\infty}f_{T}(t-kT)$

Képezzük a Laplace-transzformáltat felhasználva az eltolási tételt:

$$\mathcal{L}\left \{f(t)\right} = \mathcal{L}\left \{ \sum_{k=0}^{\infty}f_{T}(t-kT)\right \} = \sum_{k=0}^{\infty}\mathcal{L}\left \{f_{T}(t-kT)\right \} = \sum_{k=0}^{\infty}F_{T}(s)e^{-ksT} = F_{T}(s)\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{-sT}\right) ^{k}$

Az látható, hogy $$\sum_{k=0}^{\infty}\left( e^{-sT}\right)^{k}$ egy végtelen mértani sor, melynek zárt alakú kifejezése: $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{-sT}\right)^{k} = \frac{1}{1-e^{-sT}}$

Ennek következtében egy periódikus függvény Laplace-transzformáltja:

$$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \frac{F_{T}(s)}{1-e^{-sT}}$ , ahol

$$f(t)\left\{\begin{matrix} f(t), & \text{ ha } & t \geq 0\\ 0, & \text{ ha } & t<0 \end{matrix}\right.$

$$f_{T} = \left\{\begin{matrix} f(t), & \text{ ha } & 0 \leq t < T\\ 0, & \text{ k\$ , és a függvény periódusa

h.) Konvolúció

Legyen $$f_{1} = f_{1}(t)$ és $$f_{2} = f_{2}(t)$ abszolút integrálható belépő függvények, amelyek Laplace-transzformációja:

$$\mathcal{L}\left\{f_{1} (t) \right\} = F_{1}(s), \mathcal{L}\left\{f_{2}(t)\right\} = F_{2}(s)$

Keresendő azon $f = f(t) függvény,amelynek komplex frekvencia-tartományban történő származtatása az alábbi:

$$F(s) = F_{1}(s)F_{2}(s)$

Az $f=f(t) függvényt a paraméter térben az inverz Laplace-transzformáció szolgáltatja:

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{F_{1}(s)F_{2}(s)\right\} = \int_{0}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d \tau = f_{1}(t)\ast f_{2}(t)$

Az $$f_{1}(t) \ast f_{2}(t) = \int_{0}^{t} f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau$ műveletet az $$f_{1}(t) = f_{1}$ ; és $$f_{2}(t)=f_{2}$

függvények konvolúciójának nevezzük.
Tehát, ha egy paraméter térben egy $f=f(t) függvény az $$f_{1}(t)=f_{1}$ és $$f_{2}(t) = f_{2}$ abszolút integrálható függvények $$f(t)=\int_{0}^{t}f_{1}(t)f_{2}(t-\tau)d\tau = f_{1} \ast f_{2}$ műveleteként áll elő, akkor ennek kiterjesztett frekvencia tartománybeli transzformáltja:

$$F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t}f_{1}(t)f_{2}(t-\tau)d\tau \right\} = F_{1}(s)F_{2}(s)$ , azaz a két függvény $$(f_{1}(t); \text{ \'es }f_{2}(t))$ kiterjesztett frekvencia tartománybeli szorzata.
A következőkben még azt nézzük meg miként áll elő a konvolúció műveleteként keletkezett függvény deriváltjának Laplace-transzformáltja:

$$\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\} = \mathcal{L}\left\{\frac{d}{dt}\left[f_{1}(t) \ast f_{2}(t)\right] \right\} = \mathcal{L}\left\{\frac{d}{dt}\int_{0}^{t}f_{1}(t)f_{2}(t-\tau)d\tau \right\}$

$$\mathcal{L}\left\{ \frac{d}{dt}\left[f_{1}(t) \ast f_{2}(t)\right] \right\} = sF_{1}(s)F_{2}(s)$

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Nevezetes függvények Laplace-transzformáltja

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English