Nevezetes bemenő függvények

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Nevezetes bemenő függvények

Egységugrás függvény

Az egyik legfontosabb és leggyakrabban használt bemenő függvény egy rendszer vizsgálata, elemzése során az ún. „Heavyside” egységugrás függvény, melynek görbéi az alábbi 8. ábrán látható a matematikai leírásával egyetemben.

8. ábra

$$ 1(t)=\left\{\begin{matrix} 1, $ ha $ 0\leq t\\ 0, $ ha $ t<0 \end{matrix}\right.$

Ezen függvény eltolt képe és matematikai leírása az alábbiakban látható (9.ábra):

9. ábra

$$ 1(t-\tau)=\left\{\begin{matrix} 1, $ ha $ \tau<t\\ 0, $ ha $ t<\tau \end{matrix}\right.$

Impulzus függvény (Dirac delta)

Az ideális impulzus függvény bevezetéséhez tekintsük az alábbi ábrát.

10. ábra

Az $$f_{0}(t)$ függvény alaptulajdonsága:

$$ f_{0}(t)= \begin{cases} 1, & \text{ ha } 0 \leq t <1 \\ 0, & \text{ k\$

valamint az $$f_{0}(t)$ függvény további fontos jellemzője: $$\int_{-\infty}^{\infty}f_{0}(t)dt = 1$

A 10. ábra lapján képezzük az $$f_{1}(t)$ függvényt az alábbiak szerint:

$$ f_{1}(t)= \begin{cases} \frac{1}{\tau_{1}}, & \text{ ha } 0 \leq t <\tau_{1}, \quad \text{\'es} \quad \tau_{1}<1\\ 0, & \text{ k\$

Így a fentiek alapján látható, hogy $$\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t)dt = 1$ szintén.

Teljesen hasonló módon képezzük az $$f_{2}(t)$ függvény ill. az $$f_{n}(t)$ függvényt.

$$ \begin{matrix} f_{2}(t)= \begin{cases} \frac{1}{\tau_{2}}, & \text{ ha } 0 \leq t <\tau_{2}<\tau_{1}, \quad \text{\'es} \quad \tau_{1}<1\\ 0, & \text{ k\$

Végezzük el az alábbi határátmenetet!

$$ \delta(t)=\lim_{\tau \to 0} f(t)= \lim_{\tau \to 0} \begin{cases} \frac{1}{\tau}, & \text{ ha } 0 \leq t <\frac{1}{\tau}\\ 0, & \text{ k\$

Az így kapott $$\delta(t)$ függvény a Dirac-delta, Dirac impulzus, melynek jellemzője, hogy mindenütt 0 értékű kivéve a $t=0 helyet, ahol végtelen nagy "amplitúdójú", azaz határértéke végtelenben van úgy, hogy az intenzitás, azaz az impropirus integrál 1 marad.
Mindezek alapján értelmezzük és definiáljuk az eltolt Dirac-delta függvényt a 11. ábra alapján.

11. ábra

Az előzőekben elmondottak értelmében az eltolt Dirac-delta

$$ \delta(t-t_{0})= \begin{cases} \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau}, & \text{ ahol } t_{0} \leq t <\tau+t_{0}\\ 0, & \text{ k\$

Függvény ábrázolás szempontjából a Dirac-delta függvény a 12. ábrán látható módon jeleníthető meg:

12. ábra

Az eddig elmondottak alapján keressünk kapcsolatot a Heavyside egységugrás és a Dirac-delta függvények között. Ennek érdekében először tekintsük a $$-\infty < t < \infty$ intervallumban folytonosan differenciálható $f(t) függvényt. Így az $f(t) függvény megadható az alábbi módon:

$$ f(t) = \int_{a}^{t}\frac{df(\tau)}{d\tau}d\tau, \text{ ahol } f(a) = 0$

A klasszikus analízis értelmében a Heavyside egységugrás függvény a $$-\infty < t < \infty$ intervallumban nem differenciálható folytonosan, azaz

$$ \frac{d1(t)}{dt}= \begin{cases} 0, & \text{ ha } t < 0\\ \text{nincs \'ertelmezve,} & \text{ ha } t=0\\ 0, & \text{ ha } t>0 \end{cases}$

A Heavyside egységugrás függvény és a Dirac-delta közötti kapcsolat megteremtése és megértése érdekében tekintsük az alábbi 13. ábrát.

13. ábra

Az $$ 1(t,\tau)$ függvény a következő formában adható meg:

$$ 1(t,\tau)=\begin{cases} 0, & \text{ ha } t<0\\ \frac{t}{\tau}, & \text{ ha } 0\leqslant t <\tau \quad \text{ \'es }\quad 0<\tau<1\\ 1, & \text{ ha } t\geqslant \tau \end{cases}$

A Heavyside függvény és az $$1(t,\tau)$ függvény között az alábbi kapcsolat áll fenn:

$$ 1(t)=\lim_{\tau \to 0 }1(t,\tau)$

Ezt követően képezzük az $$1(t,\tau)$ függvény szerinti deriváltját.

$$ \frac{\partial1(t,\tau)}{\partial t}=\begin{cases} 0, & \text{ ha } t<0\\ \frac{1}{\tau}, & \text{ ha } 0\leqslant t <\tau\\ 0, & \text{ ha } t\geqslant \tau \end{cases} = \begin{cases} \frac{1}{\tau},& \text{ ha } 0\leqslant t <\tau\\ 0, & \text{ k\$

Mivel a $$\tau$ a (0;1) intervallumban változott a $$ \frac{\partial 1(t,\tau)}{\partial t}$ derivált ugyanazt az egységnyi területű (intenzitású) impulzust adta ami alapján az előbbiekben a Dirac-deltát származtattuk. Vezessük be a következő jelölést:

$$ \delta(t,\tau)=\frac{\partial1(t,\tau)}{\partial t}= \begin{cases} 0,& \text{ ha } t<0\\ \frac{1}{\tau},&\text{ ha } 0\leqslant t <\tau\\ 0, & \text{ ha } t\geqslant \tau \end{cases}$

Az $$1(t,\tau)$ és a $$ \delta(t,\tau)$ között még az alábbi kapcsolat is fennáll.

$$ 1(t,\tau)=\int_{-\infty}^{t}\delta(t,\tau)dt$

Ezt követően képezzük a következő határátmenetet:

$$ \lim_{\tau \to 0}1(t,\tau)=\lim_{\tau \to 0}\int_{-\infty}^{t}\delta(t,\tau)dt\quad\Rightarrow \quad 1(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(t)dt$

Mindezek alapján elmondható, hogy a Heavyside egységugrás függvény $t=0 pontban vett deriváltját értelmezzük, s mint általánosított deriváltat meghatározztuk: $$ \frac{\partial 1(t)}{\partial t} = \delta(t)$
A továbbiakban ezen kiterjesztett, ill. általánosított deriváltat a $$ \frac{\delta}{\delta t}$ -vel jelöljük. A következőkben megadjuk a Dirac-delta és az általánosított derivált néhány következményét.
Legyen $f(t) egy folytonosan deriválható függvény a $$ (-\infty;\infty)$ intervallumban.

Ezen $f(t) függvény $t=0 helyen felvett értéke a Dirac-delta segítségével eképp adható meg:

$$ f(0)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt$

Ugyanezen $f(t) függvény valamely $$-\infty<t_0<\infty$ helyen felvett értéke az eltolt Dirac-delta alapján:

$$ f(t_0)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt$

Az általánosított derivált bevezetésével értelmezzük a meg nem szüntethető szakadással rendelkező függvények vizsgálatát. Tekintsük a 14. ábrán látható függvényt.

14. ábra

$$ f(t)=\begin{cases} f_1(t),\quad \text{ha}\quad t>t_0 \quad \text{\'es}\quad f_1(t)\quad \text{folytonosan derivalhat\'o } (t_0;\infty) \text{ intervallumban}\\ f_2(t) ,\quad \text{ha}\quad t \leq t_0 \quad \text{\'es}\quad f_2(t)\quad \text{folytonosan derivalhat\'o } (-\infty;t_0] \text{ intervallumban} \end{cases}$
Az $f(t) függvény $t=t_0 –ban vett meg nem szüntethető szakadása elégítse ki a $$ \left |\lim_{t \to t_0+0} f(t)- \lim_{t \to t_0-0} f(t) \right |<\infty$ feltételt. Mindezen feltételek alapján az általánosított derivált segítségével az $f(t) deriváltja eképp írható fel:

$$ \frac{\delta f(t)}{\delta t}=\begin{cases} \frac{df_1(t)}{dt}, \quad \text{ ha } \quad t_0<t \\ \\ \left [\lim_{t \to +t_0} f(t)- \lim_{t \to -t_0} f(t) \right ]\delta(t-t_0), \quad \text{ ha } \quad t_0=t \\ \\ \frac{df_2(t)}{dt}, \quad \text{ ha } \quad t<t_0 \end{cases}$

Az általánosított derivált függvény a következő ábrán látható.

15. ábra

$$ \frac{\delta f(t)}{\delta t}=\begin{cases} \frac{df_1(t)}{dt},\quad \text{ha} \quad t_0<t \\ \\ I\delta(t-t_0),\quad \text{ha} \quad t_0=t, \\ \\ \frac{df_2(t)}{dt},\quad \text{ha} \quad t<t_0 \end{cases}\quad \text{ahol}\quad I=\left [\lim_{t \to +t_0} f(t)- \lim_{t \to -t_0} f(t) \right ]$

Periódikus függvények

A lineáris rendszereink stacionárius állapotát leggyakrabban periódikus bemenő jelekre adott válasz alapján vizsgáljuk. Egy $f(t) függvény szerint periódikus függvénynek nevezzük, ha $f(t)=f(t+nT) , ahol $n=1,2,...,k,... természetes szám (16.ábra).

16. ábra

$$ T=t_2-t_1=t_3-t_2=...=t_n-t_{n-1}$

A Fourier elmélet szerint egy $f(t) periódikus függvény közelítő Fourier polinomja:

$$\tilde{f}(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(A_{k}\text{cos}\left(k\frac{2\pi}{T}t\right)+B_{k}\text{sin}\left(k\frac{2\pi}{T}t\right)\right)$

A közelítés hibája: $$ max\left | f(t)-\tilde{f}(t) \right |$ . Továbbá vezessük be az $$\omega=\frac{2\pi}{T}$ általánosított körfrekvenciát.

Így $$\tilde{f}(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(A_{k}\text{cos}(k\omega t)+B_{k}\text{sin}(k\omega t)\right)$

Felmerül az a probléma, hogy $f(t) előállítható-e végtelen tagú trigonometrikus sor segítségével.
Ha $f(t) függvény a $$(-\infty;\infty)$ intervallumban egyenletesen konvergens, akkor az $f(t) függvény Fourier sorba fejthető (részleteket lásd a függelékben: A Fourier-sor származtatása ):

$$f(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\text{cos}(k\omega t)+B_{k}\text{sin}(k\omega t)\right)$ , ahol $$A_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt; A_{k}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\text{cos}\left(k\omega t\right)dt; B_{k}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\text{sin}(k\omega t)dt$ .

A
$$ \left.\begin{matrix} \text{cos}(k\omega t)=\frac{e^{jk\omega t}+e^{-jk\omega t}}{2}\\ \\ j\text{sin}(k\omega t)=\frac{e^{jk\omega t}-e^{-jk\omega t}}{2} \end{matrix}\right\}$ Euler relációt alkalmazva levezethető, hogy $f(t) az alábbi alakra írható át:

$$ f(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e^{jk\omega t} + \sum_{k=-1}^{-\infty}c_{k}e^{jk\omega t} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{j\omega_{k} t};$ ahol $$ c_{k}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t)e^{-jk\omega t}dt$
(lásd részletezve függelékben: Fourier sor átírása komplex alakba)

Az alábbiakban néhány példával illusztráljuk az előző fejezetekben bemutatott bemenő függvények miként jelennek meg a képalkotásban. Az illusztrációk 2D emissziós képalkotó berendezések (kördetektoros gamma kamerák) válaszfüggvényei.

17. ábra: A 2D leképző rendszer bemenő függvénye f(x,y) = A0*1(x,y) kétdimenziós Heavyside függvény. Az ábra az A0*1(x,y) függvényre adott választ adja kör alakú detektor esetén (azaz a homogén bemenetre adott válasz)

18. ábra: A pontválasz függvényre adott válasz. A pontválaszfüggvény a detektor méretéhez képest elhanyagolhatóan kis méretű, nagy koncentrációjú 'pont szerű' aktivitásra /2D Dirac delta f(x,y)=A0*delta(x,y)/ kapott válasz.

19. ábra: 'y' irányban periódikusan elhelyezkedő állandó aktivitású vonalforrásra kapott válasz függvény látható.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Nevezetes bemenő függvények

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English