Monte Carlo módszerek bevezetés

A Monte Carlo módszerek alapjait a nukleáris részecsketranszport alapozta meg, mára általános technikává vált. A részecsketranszport (a továbbiakban egyszerűen csak és rövidítve) MC módszereket tekinthetjük a valóság statisztikai ekvivalensének, egyfajta szimulációnak, melyben a valósághoz hasonlóan véletlenszámok segítségével sorsolt események során követünk egyedi részecskéket a forrástól elnyelődésükig, vagy a rendszerből való kiszökésükig. Megfogalmazható a MC mint integrálkiértékelési módszer is, melyben a részecsketranszport-egyenlet integrális formájának, mint Fredholm típusú másodfajú integrálegyenlet megoldását. Ez utóbbi interpretáció segíthet a valósághű szimulációknál hatékonyabb szimulációkat létrehozni, míg ez a formalizmus alig alkalmas az orvosi képalkotásban gyakran előkerülő jelenségek leírására, mint pl. a szcintillációs detektorok szimulációja.

A Monte Carlo módszer mint a valóság "szimulációja"

Első interpretációnk szerint a MC a következő lépések összessége:
1. A forrás eloszlásának megfelelő, de véletlenszerű hely-, szög-, energia- és időkoordináták sorsolása
2. a kiinduló koordinátákból szabad úthossz sorsolása: a Beer-Lambert törvények meglelő gyengülési eloszlásnak megfelelő de véletlenszerű ütközési pont sorsolása
3. az ütközési pontban az adott anyagi paraméterek és a részecske-energia alapján kölcsönhatás-típus választása, majd a részecske kimenő-koordinátáinak sorsolása az adott kölcsönhatásnak megfelelően
4. A 2. és 3. lépések ismétlése, amíg a részecske ki nem szökik a geometriából, vagy el nem nyelődik egy kölcsönhatás során

A sorsolási lépéseknél minden alkalommal, amikor a részecske detektort ér, függően a detektor válaszfüggvényétől, járulékot ad a detektorbeütésekhez.

A végső MC eredményünk nagy számú részecske szimulációja közben összegyűlt detektor-hozzájárulások átlaga.

A Monte Carlo módszer mint határozott integrál kiértékelése

Tegyük fel, hogy a következő határozott integrált akarjuk kiértékelni, ahol D függvény a detektorfüggvény, valamilyen valószínűség-sűrűség függvény, például egy részecske összes lehetséges ütközésipontjának, a részecske teljes élettartamának minden részletének valószínűségét leíró függvény, P pedig ennek megfelelően egy sok -akár végetlelen- dimenziós fázistér.

Vegyünk véletlen mintákat az eloszlás szerint:

A kérdéses R mennyiség ekkor becsülhető:

A kifejezés várható értéke egyértelműen szolgáltatja a becslés torzítatlanságának bizonyítását.

A következő fejezetben a mintavételezés (sorsolás) módjait vizsgáljuk meg.

---