Loading...
 
PDF Print

Lineáris rendszerek vizsgálata a kiterjesztett frekvencia tartományban

Az elkövetkezőkben a lineáris rendszerek leírását kiterjesztjük az $s=\sigma + j\omega komplex frekvencia tartományra, mely során megvizsgáljuk milyen összefüggések, illetve kapcsolatok teremthetőek a különböző rendszer válaszok alapján.

Definíció: Legyen az $f=f(t) függvény valós változós, valós vagy komplex értékű belépő függvény:

$ f(t)=\left\{\begin{matrix} \varphi (t), &\text{ ha } t \geq 0\\ \\ 0, & \text{ k\, valamint $\int_{-\infty}^{\infty}\left|f(t)\right| dt < \infty

Az $F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt függvénytranszformációt az $f(t) függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük.
Fontos megjegyezni, hogy a Laplace-transzformáció létezésének elégséges feltétele az $f(t) függvény abszolút integrálhatósága, de nem szükséges. A Laplace-transzformáció lineáris transzformáció, azaz:

$ \left.\begin{matrix} \mathcal{L}\left\{\sum_{(i)}\lambda_i f_i (t) \right\} = \sum_{(i)}\lambda_i \mathcal{L} \left\{f_i (t)\right\} \\ \\ \mathcal{L} \left\{ f(\lambda t)\right\} = \frac{1}{\lambda} F(\frac{s}{\lambda}) \end{matrix}\right\}, ahol $\lambda \in \Gamma

A továbbiakban nézzük meg milyen kapcsolat áll fenn a Laplace-transzformáció és a Fourier-transzformáció között. Az előző gondolatmenetek alapján ismert, hogy mindkét transzformáció létezésének elégséges feltétele az $f=f(t) függvény abszolút integrálhatósága.

Fourier-transzformáció: $\mathfrak{F}\left\{f(t)\right\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt

Laplace-transzformáció: $\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt

Használjuk fel, hogy $s=\sigma +j\omega, s így írjuk fel a Laplace-transzformációt.

$ \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(\sigma +j\omega)t}dt = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt

A Laplace-transzformáció definíciójából tudjuk, hogy $f(t) függvény belépő függvény kell legyen. Ha $f=f(t) belépő függvény, akkor következésképp $f_1 (t) = f(t)e^{-\sigma t} függvény is belépő függvény.

Így
$ \left.\begin{matrix} \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty}f_1 (t)e^{-j\omega t}dt = \mathfrak{F}\left\{f_1 (t)\right\} = \mathfrak{F}\left\{f(t)e^{-\sigma t}\right\}\\ \\ \text{illetve: } \mathfrak{F}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} \big{|}_{s=j\omega} \end{matrix}\right\} \Rightarrow \begin{matrix} F(s)=\mathfrak{F}\left\{f(t)e^{-\sigma t}\right\} \\ \\ F(j\omega) = F(s) \big{|}_{s=j\omega} \end{matrix}

Mindezekből az alábbi következtetések vonhatók le. Azon feltételek mellett, ha $f=f(t) belépő függvény és abszolút integrálható, az $f(t) függvény Laplace-transzformációja az $s=j\omega tengelye mentén adja a függvény Fourier-transzformáltját. Így belátható, hogy a Fourier-transzformáció csak a $j\omega képzetes frekvencia tengelyen értelmezett. A Laplace-transzformáció értelmezési tartománya az egész komplex frekvencia sík. Más olvasatban még az a következtetés is levonható, hogy egy $f=f(t) függvény Laplace-transzformációja az $f_1 (t) = f(t)e^{-\sigma t} függvény Fourier-transzformációjaként is előállítható. Következésképp $f_1 (t) az inverz Fourier-transzformáció segítségével eképp írható fel:

$ f_1 (t) = f(t)e^{-\sigma t} = \mathfrak{F}^{-1}\left\{F(\sigma+j\omega )\right\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\sigma+j\omega )e^{j\omega t}d\omega

$ f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{-j\omega+\sigma}^{j\omega+\sigma}F(\sigma+j\omega)e^{(j\omega+\sigma)t}d(\sigma+j\omega)

$ f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}F(s)e^{st}ds = \mathcal{L}^{-1}\left\{f(t)\right\} az inverz Laplace-transzformáció, mely a Riemann-Melling integrál.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…