Lineáris operátorok

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Lineáris operátorok

Lineáris modell feltétel rendszerei - Lineáris operátorok

Adott peremfeltételek mellett egy leképzési eljárást megvalósító rendszer működése absztrakt módon a rendszerre jellemző operátorral írható le. Így célszerű egy rövid összefoglalót adni az operátorokról és tulajdonságairól kiemelve azon specifikus operátor halmazt, mely a képalkotás, képfeldolgozás területén hatékony modellként alkalmazható. Egyik fontos peremfeltétel, hogy a rendszer jellemző operátor lineáris és a lineáris tér elemei között teremt kapcsolatot.

Definíció:

Az operátor egy előírás, leképzés, transzformáció halmazok elemei között. Az operátor egy halmaz elemeihez hozzárendeli ugyanazon, vagy egy másik halmaz elemeit egy megadott transzformáció alapján. Az alábbi modellezéseinkben a hozzárendelés a lineáris térben értelmezett és csak olyan operátor leképezését tekintünk, mely a lineáris tér elemei között teremt kapcsolatot.

Legyen , az $$\ell$ lineáris tér egy-egy részhalmaza, azaz $$X \subset \ell, Y \subset \ell$ . A $$\textbf{\underline{T}}$ operátor az és halmazok között egy olyan hozzárendelést valósít meg, ahol egy $$\mathfrak{D} \subseteq X$ részhalmaz $$\forall \textbf{\underline{x}} \in \mathfrak{D}$ eleméhez hozzárendeli az lineáris tér $$\textbf{\underline{T}}\underline{x}$ elemét (4.ábra).

4.ábra

A $$\mathfrak{D}$ halmazt az operátor tartományának nevezzük, míg a $$\mathfrak{D}_{T} \left \{ \textbf{\underline{T}} \underline{x};\underline{x} \in \mathfrak{D} \right \}$ halmazt az operátor képének nevezzük.

Definíció: Ha a $$\textbf{\underline{T}}$ operátor tartománya és képe ugyanazon lineáris térben van, akkor a $$\textbf{\underline{T}}$ az lineáris tér operátora.

Definíció: Ha a $$\textbf{\underline{T}}$ operátor $$\forall \underline{x} \in \mathfrak{D}$ halmaz elemeihez skalár értéket rendel, azaz $$\forall \underline{y} \in \mathfrak{D} \subseteq Y\subset\Gamma$ , ahol $\Gamma$ a valós és komplex számok halmaza akkor a $$\textbf{\underline{T}}$ -t lineáris funkcionálnak nevezzük.

Műveletek operátorok között:

$$ a.) \quad (\lambda \textbf{\underline{T}})\underline{x} = \lambda(\textbf{\underline{T}} \underline{x}),\text{ ahol }\lambda \in \Gamma\text{ \'es }\underline{x} \in X \subset \ell$

$$ b.) \quad (\textbf{\underline{T}}+\textbf{\underline{S}})\underline{x} = \textbf{\underline{T}}\underline{x} + \textbf{\underline{S}} \underline{x}$

$$ c.) \quad (\textbf{\underline{T}}\textbf{\underline{S}})\underline{x}=\textbf{\underline{T}}(\textbf{\underline{S}} \underline{x}) \neq \textbf{\underline{S}}(\textbf{\underline{T}}\underline{x}).\text{ Ha }\textbf{\underline{S}}(\textbf{\underline{T}}) = \textbf{\underline{T}}(\textbf{\underline{S}}),\text{ akkor }\textbf{\underline{S}}\text{ \'es }\textbf{\underline{T}}\text{ felcser\'elhet\H{o} oper\'atorok. }$

$$ d.) \quad \textbf{\underline{R}}(\textbf{\underline{T}}\textbf{\underline{S}})\underline{x} = (\textbf{\underline{R}} \textbf{\underline{T}})\textbf{\underline{S}} \underline{x}$

Definíció: A $$\textbf{\underline{T}}$ operátor az és halmazok között egy-egy értelmű, ha $$\forall \underline{x}_{l}$ , és $$\underline{x}_{k}$ -ra, ahol minden $$l \neq k$ esetén $$\underline{x}_{l} \neq \underline{x}_{k}$ fennáll, hogy $$\textbf{\underline{T}}\underline{x}_{l} \neq \textbf{\underline{T}} \underline{x}_{k}$ .

Definíció: Legyen $$\textbf{\underline{T}}$ operátor egy-egy értelmű. Így a $$\textbf{\underline{T}}$ inverz operátora a $$\textbf{\underline{T}}^{-1}$ operátor, melynek tartománya a $$\textbf{\underline{T}}$ operátor képe és $$\textbf{\underline{T}}\textbf{\underline{T}}^{-1} \underline{x} = \underline{x}, \forall \underline{x} \in \mathfrak{D}$ esetén.

Lineáris operátorok:

A $$\textbf{\underline{T}}$ operátor lineáris operátor, ha
$$ \left.\begin{matrix} \textbf{\underline{T}}(\lambda_{i} \underline{x}) = \lambda_{i}(\textbf{\underline{T}} \underline{x})\\ \\ \textbf{\underline{T}} \left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \underline{x}_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(\textbf{\underline{T}} \underline{x}_{i}\right) \end{matrix}\right\}\text{ felt\'etelek teljes\$

A lineáris operátorok komoly szerepet játszanak a leképező rendszerek absztrakt matematikai modellezésében, a megalkotott modellek alapján történő leírásában. Kiemelt modellezési eljárás a lineáris invariáns operátorokkal jellemezhető leképezési módszerek, ill. térben és időben lejátszódó folyamatok elemzése (biokémiai folyamatok, ill. időben lejátszódó jel analízis eljárások). A lineáris invariáns operátorok halmazát jelölje $$\textbf{\underline{L}}$ , ahol $$\textbf{\underline{L}} \subset \ell$ . Legyen egy térben és időben lejátszódó folyamat leírása:
$$ y(\textbf{\underline{r}},t) = \textbf{\underline{L}} \left \{} {f(\textbf{\underline{r}},t) \right \}$
Az $$\textbf{\underline{L}}$ lineáris operátor invariáns, ha
$$ y(\textbf{\underline{r}}-\textbf{\underline{r}}_{0} ,t-t_{0}) = \textbf{\underline{L}} \left \{f(\textbf{\underline{r}}-\textbf{\underline{r}}_{0},t-t_{0}) \right \}$

A térben és időben lineáris invariáns rendszerek - $$\textbf{\underline{L}}$ - lineáris invariáns operátorral írhatók le. Ilyen típusú rendszerek a diszkrét paraméterű (más szóhasználattal koncentrált paraméterű -ahol a rendszert jellemző paraméterek hely és idő függetlenek-) lineáris rendszerek. Ha egy lineáris invariáns rendszer idő független, akkor a folyamat leírása $$y(\textbf{\underline{r}}-\textbf{\underline{r}}_{0}) = \textbf{\underline{L}} \left \{f(\textbf{\underline{r}}-\textbf{\underline{r}}_{0}) \right \}$ , ha térfüggetlen, akkor $$y(t-t_{0}) = \textbf{\underline{L}} \left \{f(t-t_{0}) \right \}$ alakot ölti. A továbbiakban a kimeneti és bemeneti változók, függvények közötti kapcsolat rendszer egyparaméteres („”) leírás alapján történik az egyszerűbb formalizmus végett (fenntartva, hogy „” bármely változót - időt, térkoordinátákat,...stb. - is reprezentálhat)(5. ábra).

5.ábra. Lineáris invariáns rendszer (jelátvitelét a 'w' átviteli függvény jellemzi). Bemeneti (gerjesztő) függvény F(t) és a rendszer kimeneti válasza y(t).

A bemenő és kimenő függvény kapcsolat: $$y(t)=\textbf{\underline{w}}F(t)$ rendszer válasz alapján, ill.: $$F(t)=\textbf{\underline{L}}y(t)$ rendszer leíró operátorral.

Az $$\textbf{\underline{L}}$ operátor koncentrált paraméterű rendszerekre az alábbi általánosított formában írható fel:
$$ \textbf{\underline{L}} = a_{n} \frac{d^{n}}{dt^{n}} + a_{(n-1)} \frac{d^{(n-1)}}{dt^{(n-1)}} + \cdots + a_{1} \frac{d}{dt} + a_{0} = \sum_{i=0}^{n}a_{i} \frac{d^{i}}{dt^{i}},\text{ ahol }a_{n}, a_{n-1},\cdots,a_{1},a_{0} \in \Gamma$
a diszkrét elemű rendszert jellemző paraméterek, melyek függetlenek a „” változótól (így $$\textbf{\underline{L}}$ invariáns is).

A fentiekben elmondottak alapján az: $$\textbf{\underline{L}}y(t) = F(t)$ összefüggéssel modellezett rendszer kimeneti válasza az alábbi formában adható meg, mint általános megoldás: $$y(t)=y_{0}(t)+y_{p}(t)$ , ahol $$y_{0}(t)$ a lineáris rendszer homogén megoldása (az ún. nulla bemenetre adott válasz), míg $$y_{p}(t)$ a partikuláris megoldás, azaz egy megadott bemenő függvényre (gerjesztésre) a peremfeltételek szerinti válasz.

$$ \left.\begin{matrix} \textbf{\underline{L}}y_{0}(t)=0\\ \\ \textbf{\underline{L}}y_{p}(t)=F(t) \end{matrix}\right\} \textbf{\underline{L}} \left[y_{0}(t)+y_{p}(t)\right] = F(t)$

Az $$\textbf{\underline{L}}$ által leírt lineáris rendszer esetén a homogén megoldás - $$y_{0}(t)$ - adja meg a rendszer tranziens válaszát, míg $$y_{p}(t)$ a partikuláris megoldás az adott gerjesztésre kapott válasz függvény, mely a rendszer stacionárius válaszát írja le.

Legyen egy $$\textbf{\underline{L}}$ operátorral jellemzett lineáris rendszer egymástól független bemenő függvényei:
$$F_{1}(t),F_{2}(t),\cdots,F_{n}(t)$ , melyekre rendre kapott válasz függvények $$y_{1}(t),y_{2}(t),\cdots,y_{n}(t)$ , melyekre fennáll, hogy:

$$ \left.\begin{matrix} \textbf{\underline{L}}y_{1}(t) = F_{1}(t)\\ \textbf{\underline{L}}y_{2}(t) = F_{2}(t)\\ \vdots \\ \textbf{\underline{L}}y_{n}(t) = F_{n}(t) \end{matrix}\right\} \textbf{\underline{L}}y_{1}(t) + \textbf{\underline{L}} y_{2}(t) + \cdots+\textbf{\underline{L}}y_{n}(t) = F_{1}(t) + F_{2}(t) + \cdots+F_{n}(t)$

$$\textbf{\underline{L}}\left[\sum_{i=1}^{n}y_{i}(t) \right] = \sum_{i=1}^{n}F_{i}(t),$ ahol a független bemenő függvényekre kapott válaszfüggvényt származtatja, mely nem más, mint a szuperpozíció elve.

Fizikai jelenségek-L-lineáris invariáns operátorai

Az alábbiakban két egyszerű fizikai példán keresztül építjük fel az $$\textbf{\underline{L}}$ operátort, mint a rendszert modellező, leíró lineáris invariáns operátort (6.ábra,7.ábra):

6.ábra	7.ábra
Egy „k” direkciós állandójú és $\delta$ csillapítású rúgóra „m” tömegű test csatlakozik, melyet F(t) erő gerjeszt. Mechanikai modell differenciál egyenlete: $$m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\delta m \frac{dx(t)}{dt}+kx(t) = F(t)$ $$\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\delta \frac{dx(t)}{dt}+\frac{k}{m}x(t) = \frac{F(t)}{m}$	„R” ellenállás,„C” kapacitású kondenzátor és „L” induktivitású tekercs sorba kötve a „K” kapcsolóval csatlakozik U(t)-re. Az elektromos modell differenciál egyenlete: $$L\frac{d^2q(t)}{dt^2}+R \frac{dq(t)}{dt}+\frac{1}{C}q(t) = U(t)$ $$\frac{d^2q(t)}{dt^2}+ \frac{R}{L} \frac{dq(t)}{dt}+\frac{1}{LC}q(t) = \frac{U(t)}{L}$

A következő jelöléseket bevezetve: $$\omega^2 = \frac{k}{m}$ ; illetve $$\omega^2=\frac{1}{LC}$

$$\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\delta \frac{dx(t)}{dt}+\omega^2x(t) = \frac{F(t)}{m}=f(t)$	$$\frac{d^2q(t)}{dt^2}+ \frac{R}{L} \frac{dq(t)}{dt}+\omega^2q(t) = \frac{U(t)}{L}=u(t)$

a fentiekből leolvasható, hogy mindkét fizikai modellt jellemző lineáris operátor
$$\textbf{\underline{L}}=\frac{d^2}{dt^2}+a_{1}\frac{d}{dt}+a_{0}$ alakú.
Így a mechanikai folyamatot leíró modell:
$$\underline{\textbf{L}}_{\textbf{(M)}}x(t)=f(t)\text{, ahol }\frac{d^2}{dt^2}+2\delta \frac{d}{dt}+\omega^2=\underline{\textbf{L}}_{\textbf{(M)}}$
illetve az elektromos folyamat esetén:
$$\underline{\textbf{L}}_{\textbf{(E)}}q(t)=u(t)\text{, ahol }\frac{d^2}{dt^2}+\frac{R}{L} \frac{d}{dt}+\omega^2=\underline{\textbf{L}}_{\textbf{(E)}}$

Az említett két egyszerű eset jól mutatja, hogyan lehet analitikusan felépíteni egy-egy rendszerre jellemző operátort és ennek következtében a rendszer válaszai miként analizálhatóak a különböző bemenetekre. Vannak azonban olyan helyzetek, amikor egy rendszer belső felépítése nem ismert és a rendszer tulajdonságai a különböző nevezetes bemenő jelekre kapott válaszok alapján válik ismertté, melynek következményeként lehet a rendszert leíró operátort felépíteni. Az elkövetkezendő fejezetek képezik mindezen módszerek és eszközök ismertetésének tárgyát.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Lineáris operátorok

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English