Lineáris invariáns rendszer leírása az átmeneti függvény segítségével

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Laplace-transzformáció » Lineáris invariáns rendszer leírása az átmeneti függvény segítségével

A lineáris invariáns rendszerek leírása, jellemzése során igen gyakran alkalmazott módszer még az átmeneti függvény használata.
Definíció: Egy lineáris invariáns rendszer Heavyside függvényére adott válaszfüggvényt átmeneti függvénynek nevezzük.
Mint ismeretes a Heavyside függvény: $ f=1(t)
Így $$ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{1(t)\} = \frac{1}{s}$

Következésképpen a rendszer kimenő válasz függvénye:
$$ Y(s) = W(s)F(s) = W(s)\frac{1}{s}$

$$ y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{W(s)}{s} \right\} = h(t)$ az átmeneti függvény

Az látható, hogy a kiterjesztett frekvencia tartományban az átmeneti függvény és az átviteli függvény közötti kapcsolat:
$$ \mathcal{L}\{h(t)\} = H(s) = \frac{W(s)}{s} \Rightarrow W(s)=sH(s)$ , amelyből leolvasható, hogy az átmeneti függvény ismeretében miként származtatható egy rendszer átviteli függvénye.
Felmerül tehát az a kérdés, ha ismert egy rendszer átmeneti függvénye a valós paraméter térben, akkor egy $ f=f(t) belépő függvényre miként kapható meg az $y=y(t) válaszfüggvény.
Mint ismeretes az előzőkből egy kiterjesztett frekvencia tartományban a kimenő és bemenő függvények között az átviteli függvény teremt közvetlen kapcsolatot:
$$ \left.\begin{matrix} Y(s)&=&W(s)F(s)\\ W(s)&=&sH(s) \end{matrix}\right\} \Rightarrow Y(s) = sH(s)F(s)$

Képezzük mindkét oldal inverz Laplace transzformáltját:
$$ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{sH(s)F(s)\}$

A Laplace-transzformáció műveleti szabályait alkalmazva adódik, hogy
$$ \mathcal{L}^{-1}\{sH(s)F(s)\} = \frac{\delta}{\delta t}\mathcal{L}^{-1}\{H(s)F(s)\}$
módon is felírható, ahol $$ \frac{\delta}{\delta t}$ általánosított deriváltat jelent.

A rendszer átmeneti függvény alapján a kimeneti válasz függvény az alábbiak szerint fejezhető ki:

$$ y(t)= \frac{\delta }{\delta t}\mathcal{L}^{-1}\left \{ H(s)F(s) \right \}$
Alkalmazzuk a szorzatfüggvényre érvényes műveleti szabályt, a konvolúciós formulát:
$$ y(t)= \frac{\delta }{\delta t} \int_0f(\tau)h(t-\tau)d\tau= \frac{\delta }{\delta t} \left \[f(t)\ast h(t) \right \]$

(Lásd a levezetést a függelékben: Duhamel-tétel származtatása)

$$ y(t)=f(t)h(0)+\int_0^tf(\tau)\frac{dh(t-\tau)}{dt}d\tau$ , ahol a jelen esetben a $$ \frac{d}{dt}$ már nem általánosított deriváltat jelent. Az átmeneti függvényből kapott kimenő válasz függvény formulát Duhamel-tételnek nevezzük.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Lineáris invariáns rendszer leírása az átmeneti függvény segítségével

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English