Képrekonstrukció - Bevezető

   Tankönyv Fizikusoknak  »  Az orvosi képalkotás matematikai alapjai  »  Képrekonstrukció analitikus összefüggésekkel  »  Képrekonstrukció - Bevezető

Képrekonstrukció analitikus összefüggésekkel

 
Ahogy korábban láttuk, a tomográfiás képalkotás során a mérési adatok tulajdonképpen a vizsgált objektum valamilyen fizikai tulajdonságának (pl. izotópkoncentráció, gyengítési együttható) Radon-transzformáltját adja. Ebben a fejezetben azt mutatjuk be, hogyan lehet a Radon-transzformált inverzét megtalálni és ezzel a mért nyers adatokból visszanyerni a minket érdeklő térbeli eloszlást, az izotópkoncentrációét vagy a Röntgen-gyengítési együtthatóét. Ezt a transzformációt képrekonstrukciónak hívjuk.

A fejezetben bemutatjuk a Radon-transzformált mint matematikai operátor inverzét, és ehhez kapcsolódva a leggyakrabban használt, már numerikusan stabil algoritmussá alakítható formáit. A legfontosabb ezek közül a Szűrt Visszavetítés (Filtered Backprojection), mely még ma is általánosan elterjedt rekonstrukciós algoritmus.

Az inverz Radon-transzformált: az alapprobléma

Johann Radon 1917-es cikkében megadta a Radon-transzfomált inverzének képletét:

Az integrál, ahogy azt a Hilbert-transzformáltnál láthattuk főértékben értendő, hiszen a nevező szingularitása miatt nem Riemann-integrálható a képlet. Komolyabb gond, hogy direkt numerikus kiértékelése éppen emiatt gondokba ütközik. Azt is látni fogjuk, hogy ez az inverziós képlet csak két (illetve a páros) dimenzió(k)ban érvényes, magasabb (pontosabban a páratlan) dimenziókban más alapformulára és más numerikus algoritmura van szükség. A Hilbert-transzformáltnál tárgyaltakhoz hasonló átalakítást végezve a konkrét numerikus nehézségeket el lehet kerülni, ez a megoldás vezet a Szűrt Visszavetítéshez. Tárgyalásmódunkban a Szűrt Visszavetítés egy másik levezetését adjuk, mely általánosabb keretet ad a releváns szűrők tervezéséhez.

Tétel, hogy az f kompakt tartójú függvény projekcióinak (azaz Radon-transzformáltjának szög szerinti eloszlásának) bármely végtelen elemű halmaza egyértelműen meghatározza az f függvényt, de egyetlen véges elemű halmaza sem. Természetesen ez a numerikus matematikában nem szokatlan állítás, de mindenképpen meg kell vizsgálni, hogy a függvény rekonstrukciójának pontosságát hogyan befolyásolja a mintavételezés eloszlása.

A következő szakasz a szűrt visszavetítés alapját képező Központi Szelet Tételt mondja ki.