Loading...
 
PDF Print

Inverz Radon transzformáció Riesz-potenciál megoldáscsaláddal

A Fourier inverziós képlet egyenes levezetési ágon szolgáltatta a az |r| -kel való frekvenciatérben végzett szűrést illetve ennek alternatív megfogalmazását, a derivált- és Hilbert-operátorokkal való leírást. A Riesz-potenciál segítségével felírható egy olyan megoldáscsalád, melynek a a Fourier inverziós képlet csak alesete.

Az $ I^{\alpha } Riesz-potenciál definiálható egy n dimenziós függvényre a következőképpen:
$ I^{\alpha }f=\frac{1}{C_{\alpha }}\int \frac{f\left ( y \right )}{\left | x-y \right |^{n-\alpha }}dy
Ahol $ C_{\alpha } konstans. A Hilbert-transzformálthoz hasonlóan megadhatunk itt is egy, a Fourier-transzformáltat segítségül hívó definíciót:
$ \mathfrak{F}\left \{ I^{\alpha } f \right \} \left ( \boldsymbol{\xi } \right )= \left | \boldsymbol{\xi } \right |^{-\alpha }\mathfrak{F}\ f \left ( \boldsymbol{\xi } \right )

Itt $ \boldsymbol{\xi } \in \mathfrak{C}^{n}.
Ebből a definícióból látható, hogy
$ I^{\alpha }I^{-\alpha }f=f
Írjuk ki f Riesz-potenciáljának Fourier-definícióját:
$ I^{\alpha }f=\left ( 2\pi \right )^{-n/2}\int_{R^{n}} e^{i\mathbf{x}\boldsymbol{\xi }}\left | \boldsymbol{\xi } \right |^{-\alpha }\mathfrak{F}f\left ( \boldsymbol{\xi } \right )d \boldsymbol{\xi }

Térjünk át n dimenziós polár-koordinátarendszerre a szokásos jelölésekkel:
$ I^{\alpha }f=\left ( 2\pi \right )^{-n/2}\int_{S^{n-1}}\int_{R} e^{ir\mathbf{x}\boldsymbol{\omega }}\left | r \right |^{n-1-\alpha }\mathfrak{F}f\left ( r\boldsymbol{\omega } \right )drd\boldsymbol{\omega }
Helyettesítsük be a multidimenzionális Központi Szelet tétel eredményét:
$ I^{\alpha }f=\frac{1}{2}\left ( 2\pi \right )^{-n/2}\int_{S^{n-1}}\int_{-\infty }^{\infty} e^{ir\mathbf{x}\boldsymbol{\omega }}\left | r \right |^{n-1-\alpha }\mathfrak{F}_{t}\mathfrak{R}f\left ( r,\boldsymbol{\omega } \right )drd\boldsymbol{\omega }
Operátorformában írhatjuk ekkor:
$ I^{\alpha }f=\frac{1}{2}\left ( 2\pi \right )^{-n/2}\int_{S^{n-1}} I^{\alpha-n+1 }\mathfrak{R}f\left ( r,\boldsymbol{\omega } \right )d\boldsymbol{\omega }=\frac{1}{2}\left ( 2\pi \right )^{-n/2}\mathfrak{R}^{+} I^{\alpha-n+1 }\mathfrak{R}f\left ( r,\boldsymbol{\omega } \right )

Mindkét oldalon számítva a $ I^{-\alpha } potenciált:
$ f=\frac{1}{2}\left ( 2\pi \right )^{-n/2}I^{-\alpha }\mathfrak{R}^{+} I^{\alpha-n+1 }\mathfrak{R}f\left
melyből több inverziós képlet is nyerhető.

Az $ \alpha=0 esetben visszakapjuk a már korábban ismertetett inverziós képletet. Érdemes megemlíteni még az $ \alpha=n-3 esetet is, ekkor
$ f=\frac{1}{2}\left ( 2\pi \right )^{-n/2}I^{-n+3 }\mathfrak{R}^{+} I^{-2}\mathfrak{R}f\left=\frac{1}{2}\left ( 2\pi \right )^{-n/2}I^{-n+3 }\mathfrak{R}^{+} \partial _{t}^{2}\mathfrak{R}f\left

mely részlegesen legalább, de globális transzformáltak helyett lokális deriváltakra alapul.

 

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…