Fourier-sor átírása komplex alakba

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Függelék » Tételek, levezetések » Fourier-sor átírása komplex alakba

Ezen megjegyzésben, kiegészítésben megmutatjuk, hogy a Fourier-sor trigonometrikus kifejezése, hogyan alakítható át pontosan komplex formulás alakba. A trigonometrikus írásmódot az Euler-reláció alkalmazásával alakíthatjuk át komplex formulás alakba:

$$ \left.\begin{matrix} \text{cos}(k\omega t)=\frac{e^{jk\omega t}+e^{-jk\omega t}}{2}\\ \\ j\text{sin}(k\omega t)=\frac{e^{jk\omega t}-e^{-jk\omega t}}{2} \end{matrix}\right\}$

Kihasználva továbbá azt, hogy $$-jB_{k} \frac{e^{jk\omega t}-e^{-jk\omega t}}{2}=B_{k}\text{sin}(k\omega t)$ adódik, hogy az $$f(t)= A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\text{cos}(k\omega t)+B_{k}\text{sin}(k\omega t)\right)$ Fourier sor Euler-relációs alakja eképp adódik:

$$ f(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[A_{k} \frac{e^{jk\omega t}+e^{-jk\omega t}}{2}-jB_{k}\frac{e^{jk\omega t}-e^{-jk\omega t}}{2}\right]$

$$ f(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{A_{k}-jB_{k}}{2}e^{jk\omega t}+\frac{A_{k}+jB_{k}}{2}e^{-jk\omega t}\right]$

$$ f(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{A_{k}-jB_{k}}{2}e^{jk\omega t}+\sum_{k=-1}^{-\infty}\frac{A_{-k}+jB_{-k}}{2}e^{+jk\omega t}$

Vezessük be a következő jelölést:

$$ c_{k}=\left\{\begin{matrix} \frac{A_{k}-jB_{k}}{2}, & \text{ ha } k \geq 0\\ \\ \frac{A_{-k}+jB_{-k}}{2}, & \text{ ha } k < 0 \end{matrix}\right.$

$$ f(t)= A_{0} + \sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e^{jk\omega t}+\sum_{k=-1}^{-\infty}c_{k}e^{jk\omega t}$

Így az $f(t) Fourier-sorát közös $$\sum$ jel alá hozva adódik, hogy

$$ f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{jk\omega t} \text{, ahol } c_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jk\omega t}dt$

Vissza a 'Nevezetes bemenő függvények' című fejezethez

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Fourier-sor átírása komplex alakba

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English