Feladatok

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Feladatok

1. feladat

Adott az $$F(j\omega) = e^{-\omega^{2}T^{2}}$ Fourier-transzformált. Állítsuk elő ebből az $f(x) inverz-Fourier transzformált függvényt, figyelembe véve azt, hogy

$$ \int_{0}^{\infty}e^{-ax_{0}^{2}}\text{cos}(bx_{0})dx_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-(\frac{b}{4a})^{2}}$

Megoldás

2. feladat

Határozzuk meg az $$f(x) = e^{-\alpha x}\text{cos}(\omega x)$ és az $$f_{1}(x)=e^{-\alpha x}\text{sin}(\omega x)$ függvények Laplace-transzformáltját!

Megoldás

3. feladat

Határozzuk meg a következő függvény inverz Laplace-transzformáltját!

$$ F(s) = \frac{s^{2}+3s+2}{(s-1)(s-2)^{3}(s-4)} \quad \quad f(x)=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = ?$

Megoldás

4. feladat

Oldjuk meg a következő közönséges differenciál-egyenletet!

$$ \frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}}+4\frac{dy(x)}{dx}+5y(x) = 10,$

ahol az $$y(0)=\frac{dy(x)}{dx}\Big{|}_{x=0}=0$ kezdeti feltétel áll fenn.

Megoldás

5. feladat

Oldjuk meg a következő lineáris másodrendű differenciál-egyenletet!

$$ \frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}}+a^{2}y(x)=A\text{cos}(\alpha x),$ ha a peremfeltétel $y(0)=y'(0)=0.

Megoldás

6. feladat

Oldjuk meg az alábbi lineáris harmadrendű differenciál-egyenletet!

$$ \frac{d^{3}y(x)}{dx^{3}}+5\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}}+8\frac{dy(x)}{dx}+4y(x)=1(x),$ ahol a differenciál-egyenletnek az $y''(0)=y'(0)=y(0)=0
peremfeltételeknek kell eleget tenni.

Megoldás

7. feladat

Legyen egy rendszer átmeneti függvénye $$ h(t)=-A(e^{s_1t}- e^{s_2t})$ .Határozzuk meg a rendszer válaszfüggvényét az $$ f(t)=F_0\text{sin}(\omega t+\varphi)$ gerjesztő függvényre!

Megoldás

8. feladat

Az ábrán látható két karakterisztikával egy olyan átviteli karakterisztikát adtunk meg, amely $$ 0<\omega < \omega_0$ sávszélességen belül elégíti ki az alakhű átvitelt. Adjuk meg a hálózat súlyfüggvényét!

Amplitudo

Fázis

Megoldás

9. feladat

Egy rendszer átmeneti függvénye: $$ h(t)= \left [ 2-e^{-5t}+2e^{-10t} \right ] 1(t)$
Határozzuk meg ezen rendszer súlyfüggvényét!

Megoldás

10. feladat

Egy rendszerre jellemző átviteli karakterisztika:
$$ w(j\omega)= \frac{2(1+j\omega)}{4+3j\omega}$
Határozzuk meg a megadott átviteli karakterisztika alapján a rendszer átmeneti függvényét.

Megoldás

11. feladat

Oldjuk meg a $$ \bigtriangledown^2U(x,y,t)= \frac{1}{c^2}\frac{\partial U(x,y,t) }{\partial t}$ parciális differenciál egyenletet az alábbi peremfeltételekkel:
$ U(x,y,0)=f(x,y)