Egyenes és egyéb lineáris geometria elemek reprezentációja

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Integrálgeometria és Integráltranszformációk » Egyenes és egyéb lineáris geometria elemek reprezentációja

Egyenes és egyéb lineáris geometriai elemek reprezentációja

Egyenes a síkon

A síkon az egyenes olyan x=(x,y) pontok halmaza, melyre felírható a következő egyenlet:

$
ax+by=c ahol $$ \sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq 0$ .
Ekvivalens átírás ekkor:
$$ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}x + \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}y = \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Mivel így x és y együtthatóinak négyzetösszege 1, definiálhatjuk az
$$\boldsymbol{\omega}$ egységvektort:
$$ \boldsymbol{\omega}= \left (\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} , \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )$
és egy t skalárt:
$$ t= \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Ezekkel a jelölésekkel tehát az egyenes egyenlete:
$$ \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{x}=t$ (1)
Olyan pontok halmazát keressük tehát, melyek helyvektorainak vetülete egy adott $$ \boldsymbol{\omega}$ vektorra nézve konstans. Ezek a pontok természetesen az $$ \boldsymbol{\omega}$ vektorra merőleges egyenesen helyezkednek el, mely egyenes távolsága az origótól t.

Az így kapott egyenes pontjainak parametrizálásához keressük meg az $$ \boldsymbol{\omega}$ vektorra merőleges $$ \boldsymbol{\omega}_{\perp}$ egységvektort. Az egyértelműség kedvéért válasszuk meg a két vektorból képzett mátrix determinánsának előjelét, jelen esetben pozitívnak:
$$ \begin{vmatrix} \omega_{1} & \omega_{\perp1}\\ \omega_{2} & \omega_{\perp2} \end{vmatrix}=1$ (2)

Legyen az egyenesünk mentén a futópont s, ezzel definiálhatjuk egy L vonal l pontjainak helyét a következőképpen:

$$ \mathbf{l}_{t,\boldsymbol{\omega}}\left ( s \right )=t\boldsymbol{\omega}+s\boldsymbol{\omega}_{\perp}$

Ez a parametrizálás még nem teremt egyértelmű leírást, hiszen ha $$ t\in \left \{ -\infty,\infty \right \}$ , akkor $$\mathbf{l}_{t,\boldsymbol{\omega}}=\mathbf{l}_{-t,\boldsymbol{-\omega}}$ . Korlátoznunk kell tehát vagy t értelmezési tartományát a pozitív számokra, vagy $$\boldsymbol{\omega}$ értékét egy adott térfélre. Például, ha $$\boldsymbol{\omega}= \left ( \cos \left ( \vartheta \right ),\sin \left ( \vartheta \right ) \right )$ , akkor vagy
$$ t\in \left \{ -\infty,\infty \right \}$ és $$ \vartheta\in \left \{ 0,\pi \right \}$
vagy éppen
$$ t\in \left \{ 0,\infty \right \}$ és $$ \vartheta\in \left \{ 0,2\pi \right \}$

A szakirodalom ezt a két konvenciót követi.

Lineáris elemek magasabb dimenzióban

A 2D egyenes egyenlete tehát olyan $$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{2}$ pontok halmaza, hogy egy $$ t\in \mathbb{R}$ skalárra és egy $$\boldsymbol{\omega}\in \mathbb{S}^{1}$ az 1 szabadsági fokú gömbfelszínen ( $$\mathbb{S}$ ) mozgó egységvektorra igaz az, hogy $$ \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{x}=t$ és ezzel a $$ \left(t,\boldsymbol{\omega} \right ) \in \mathbb{R}\times \mathbb{S}^{1}$ pár irányítottsággal rendelkező egyenest határoz meg. Ha az egyenes pontjainak parametrizálását tekintjük a (2) egyenletben, s és t cserepe felcserélhető, hiszen $$\boldsymbol{\omega}$ és $$\boldsymbol{\omega}_{\perp}$ egy előjelen kívül egyértelműen meghatározzák egymást. Mondhatnánk tehát, hogy az egyenesünk paramétere s és $$\boldsymbol{\omega_{\perp}}$ , a futópont pedig t, $$\boldsymbol{\omega}$ irányban.

Egy n dimenziós térben, az (1) egyenlet $$ \left(t,\boldsymbol{\omega} \right ) \in \mathbb{R}\times \mathbb{S}^{n-1}$ mellett egy hipersík egyenlete az $$\boldsymbol{\omega}$ irányvektorra merőlegesen. Ekkor a sík egy pontjának parametrizálásához szükségünk van a hipersíkban fekvő lineárisan független, teljes bázist alkotó $$\boldsymbol{\omega_{\perp,i}}$ egységvektorokra, melyeket a jelölés kedvéért rendezzünk $$\boldsymbol{\Omega_{\perp} }$ mátrixba, így egy $$\mathbf{s}\in \mathbb{R}^{n-1}$ vektorral megszorozva a sík egy pontjába érünk a következőképpen:
$$ t\boldsymbol{\omega}+\mathbf{s}\boldsymbol{\Omega_{\perp} }$

Ha, mint korábban, az alakzat paraméterének az $$ \left(t,\boldsymbol{\omega} \right )$ választjuk, akkor az egyenletünk egy H hipersík pontjaira vonatkozik:
$$ \mathbf{H}_{\boldsymbol{\omega},t}\left ( \mathbf{s},\boldsymbol{\Omega_{\perp} } \right )=t\boldsymbol{\omega}+\mathbf{s}\boldsymbol{\Omega_{\perp} }=\mathbf{x}_{0}+\mathbf{s}\boldsymbol{\Omega_{\perp}}$

Ha viszont a lineáris alakzat paraméterének az $$ \mathbf{s}\boldsymbol{\Omega_{\perp} }$ szorzat elemeit tekintjük, egyenest kapunk, melynek pontjait az $$\boldsymbol{\omega}$ egységvektor mentén t futóponttal írhatjuk le:
$$\mathbf{L}_{\mathbf{s},\boldsymbol{\Omega_{\perp}}} \left ( t,\boldsymbol{\omega} \right )=t\boldsymbol{\omega}+\mathbf{s}\boldsymbol{\Omega_{\perp} }=t\boldsymbol{\omega}+\mathbf{x}_{0}$

Vegyük észre, hogy a H hipersík pontjainak összeségét n független információval határozza meg a $$ \left(t,\boldsymbol{\omega} \right )$ pár, míg az L egyenest a $$ \mathbf{s}\boldsymbol{\Omega_{\perp} }$
szorzat 2(n-1)független elemmel, hiszen az $$ \boldsymbol{\omega}$ egységvektor mellett még az s vektor értékére is szükség van. A tér egy pontjának leírásához emellett definiálandó még a $$ \boldsymbol{\Omega_{\perp}}$ vektorrendszer is, ez az objektumról nem hordoz információt, csak a választott koordinátarenszer-konvenciót rögzíti.

Export

Medical Imaging

Site Language: English