Duhamel-tétel származtatása

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Függelék » Tételek, levezetések » Duhamel-tétel származtatása

Az alábbi kiegészítő megjegyzésben a Duhamel-tétel származtatását mutatjuk be.

A kiindulás:

$$ y(t) = \frac{\delta }{\delta t} \left \[ f(t)\ast h(t) \right \]$ konvolúció.

Vezessül be a következő jelöléseket:
$$ f(t)=1(t)f(t) ;\quad h(t)=1(t)h(t) ;\quad f(t-\tau)=1(t-\tau)f(t-\tau) ;\quad h(t-\tau)=1(t-\tau)h(t-\tau)$

Most írjuk fel az általánosított deriválás argumentumában a konvolúciós formulát:

$$ y(t) = \frac{\delta }{\delta t}\int_0^tf(\tau)h(t-\tau)1(t-\tau)d\tau=\int_0^tf(\tau) \frac{\delta }{\delta t}\left [ h(t-\tau)1(t-\tau) \right ] d\tau$

$$ y(t)= \int_0^tf(\tau) \left [ h(t-\tau) \frac{\delta 1(t-\tau)}{\delta t}+ 1(t-\tau) \frac{dh(t-\tau)}{dt} \right ] d\tau$
$$ y(t)= \int_0^tf(\tau) \left [ \delta(t-\tau)h(t-\tau) +1(t-\tau) \frac{dh(t-\tau)}{dt} \right ] d\tau$

$$ y(t)= \int_0^tf(\tau) \delta(t-\tau)h(t-\tau) d\tau + \int_0^tf(\tau) 1(t-\tau) \frac{dh(t-\tau)}{dt} d\tau$
Ha $ t>0 $$ \int_0^tf(\tau) \delta(t-\tau)h(t-\tau) d\tau=f(t)h(0)$ , és
$$ \int_0^tf(\tau) 1(t-\tau) \frac{dh(t-\tau)}{dt} d\tau=\int_0^tf(\tau) \frac{dh(t-\tau)}{dt} d\tau$ , ahol $$ 0<\tau<t$ így megkapjuk a Duhamel-tétel végleges alakját.

$$ y(t)= f(t)h(0) + \int_0^tf(\tau) \frac{dh(t-\tau)}{dt} d\tau = f(t)h(0) + \int_0^tf(\tau) \dot{h}(t-\tau) d\tau$

A $$ \frac{d}{dt}$ már a hagyományos deriválást jelenti, amelyet szokás $$ \dot{ }$ -al is jelölni.

Vissza a 'Lineáris invariáns rendszer leírása az átmeneti függvény segítségével' című fejezethez

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Duhamel-tétel származtatása

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English