Bevezető (Integrálgeomteria és integráltramszformációk)

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Integrálgeometria és Integráltranszformációk » Bevezető (Integrálgeomteria és integráltramszformációk)

Integrálgeometriai alapok - bevezetés

A tomográfiás képalkotás alapproblémája felírható a következőképpen:
$$ g\left ( L \right )=\int_{L}f\left (\textbf{x} \right )d\textbf{x}$ Radon-transzformált (1)
itt L egy egyenest jelent, f(x) valamilyen leképezendő objektumot, melynek x helykoordinátája általában két- vagy háromdimenziós. A bal oldalon szereplő g(L) az L vonal mentén vett integrálja az f(x)eloszlásnak. A tomográfiás rekonstrukció feladata f(x) visszaállítása g(L)-ből.

Rengeteg kérdésünk merülhet fel ezzel a képlettel kapcsolatban. Például hogyan kell érteni azt, hogy egy függvény változója egy vonal, vagy hogy milyen objektumokról beszélünk egyáltalán, esetleg az, hogyan végzünk el vonal menti integrálást két- illetve három dimenzióban; azaz hogyan is kell ezeket a szimbólumokat érteni? De talán feltehetünk egy még alapvetőbb kérdést is: miért éppen ez a tomográfiás képalkotás alapproblémája?

Vonalintegrál és CT

Első példaként vegyük a komputertomográfot, a CT-t. Ha egy keskeny Röntgen vagy gamma fotonnyalábot bocsátunk keresztül homogén anyagon, a kezdeti $$ I_{0}$ intenzitás a Beer-Lambert törvény értelmében a megtett d távolsággal exponenciálisan csökken:

$$ I\left ( d \right )=I_{0}e^{-\mu d}$ Beer-Lambert törvény homogén közegben

ahol $$ \mu$ a lineáris gyengítési együttható, az adott anyagra jellemző konstans. Ezeket az együtthatókat az adott anyag elemi összetétele határozza meg, értékeit többek között megtalálhatjuk itt.

Ha a közeg nem homogén, a gyengítési együttható függeni fog az x (akár több dimenziós) helykoordinátától, $$ \mu = \mu\left ( \textbf{x} \right )$ , de természetesen függhet egyéb változóktól is, mint például az energia vagy az idő. A $$ \mu$ jelölés helyett a részecsketranszport-elméletben gyakran használják a $$ \Sigma\left ( \textbf{x} \right )$ hatáskeresztmetszet fogalmát ugyanennek a mennyiségnek a leírására.

Nem homogén közeg esetén, ha a részecske egy adott L egyenes mentén halad, a gyengülést leíró törvény alakja így módosul:

$$ I=I_{0}e^{-\int_{L} { \mu\left ( \mathbf{x} \right ) dx}}$

Vegyük most mindkét oldal logaritmusát:

$$ -\ln \frac{ I}{I_{0}} =\int_{L} { \mu\left ( \mathbf{x} \right ) dx}$ (2)

Látható tehát, hogy a sugárnyaláb intenzitásának gyengülése leírható egy vonalintegrállal.

Vonalintegrál és izotópdiagnosztika

Második példánk az izotópdiagnosztika, mikor is sugárzó izotóppal megjelölt vegyületet juttatunk a szervezetbe, mely a szöveti metabolizmus sajátosságainak megfelelően eltérő mértékben dúsul fel a különböző szövetekben. A kibocsátott sugárzást olyan műszerrel detektáljuk, mely nem csak a detektálás helyét érzékeli, hanem a bejövő részecske irányát is. Egy beérkezési hely és egy adott irány egyértelműen meghatároznak egy egyenest, melynek bármelyik pontjában lehetett volna az az izotóp, mely a detektált részecskét kibocsátotta.

Legyen az izotóp koncentrációja a szervezet különböző x pontjaiban C(x), ekkor ha detektor az L vonal mentén felszabaduló fotonokat képes detektálni, a detektorban keletkezett D(L) beütésszám ideális esetben a vonal pontjaiban található koncentrációk összege, pontosabban integrálja:

$$ D\left ( L \right )=\int_{L}C\left (\textbf{x} \right )d\textbf{x}$ Detektorválasz, mint Radon-transzformált (3)

A Radon-transzformált

Ha az (1), (2) és (3) képletekben felírt vonalmenti integrálokat minden lehetséges L-re elvégezzük, a Johann Radon (1887-1956) bécsi matematikusprofesszorról elnevezett Radon-transzformáltat kapjuk.

Egy lehetséges L integrálási vonal	Intenzitáseloszlás az adott L egyenes mentén: ezt az eloszlást integráljuk

A továbbiakban a fenti fogalmak precízebb bevezetésén túl foglalkozunk az L egyenes reprezentációjának módjaival, a Radon-transzformált tulajdonságaival, és néhány olyan integráltranszformációval, mely a képrekonstrukciós problémákban szükséges lehet.

Export

Medical Imaging

Site Language: English