Az inverz Radon-transzformált értelmezése

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Képrekonstrukció analitikus összefüggésekkel » Az inverz Radon-transzformált értelmezése

A Fourier inverziós képlet elemzése

$$ \frac{1}{2}\left (\frac{1}{2\pi} \right )^{n-1}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathfrak{F}\left [ f \right ]\left ( r\boldsymbol{\omega} \right)\left | r \right |^{n-1} e^{ir\mathbf{x} \boldsymbol{\omega }}dr d\boldsymbol{\omega }= \frac{1}{2}\left (\frac{1}{2\pi} \right )^{n-1}\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \mathfrak{F}^{-1}_{r} \left [ \mathfrak{F}_{t}\mathfrak{R}f \right ] \left | r \right |^{n-1} d\boldsymbol{\omega }$
Vizsgáljuk meg egyenként újra az inverziós képlet elemeit.

A Radon-transzformált adjungáltja

A legkülső $$ \left (\frac{1}{2\pi} \right )^{n-1}\int_{\mathbb{S}^{n-1}} d\boldsymbol{\omega }$ integrálra már bevezettük a $$\mathfrak{R^{+}}$ jelölést. Egy $$\mathfrak{A}$ operátor $$\mathfrak{A^{+}}$ adjungált operátorának definíciója:
$$ \left \langle \mathfrak{A}f,g \right \rangle=\left \langle f,\boldsymbol{\mathfrak{A}^{+}}g \right \rangle$
a <f,g> az f és g függvények skalárszorzata. A Radon-transzformáció adjungált-operátora a visszavetítés, hiszen:
$$ \int \int \mathfrak{R}f\left ( t,\boldsymbol{\omega }\right )h\left ( t,\boldsymbol{\omega } \right )dtd\boldsymbol{\omega }=\int\int \int f\left ( t\boldsymbol{\omega }+\mathbf{y}\right )h\left (t, \boldsymbol{\omega } \right )dtd\boldsymbol{\omega }d\mathbf{y}=\int\int \int f\left ( \mathbf{x}\right )h\left (\boldsymbol{\omega }\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega } \right )d\mathbf{x}d\boldsymbol{\omega }=\int \int f\left ( \mathbf{x}\right )\mathfrak{R}^{+}h\left (\mathbf{x} \right )d\mathbf{x}$
Itt áttértünk a t és y változókról az elforgatott x változókra az integrálás során.

A Hilbert-transzformált szerepe a Radon-transzformált inverzében

Tekintsük a visszavetítő operátor után következő tagokat és azonos átalakításokat:
$$ \mathfrak{F}^{-1}_{r} \left [ \mathfrak{F}_{t}\mathfrak{R}f \right ] \left | r \right |^{n-1}=\mathfrak{F}^{-1}_{r}\left ( -ir \right)^{n-1}\left ( i sgn(r)\right)^{n-1} \left [ \mathfrak{F}_{t}\mathfrak{R}f \right ]$
Általásan igaz egy g függvényre, hogy
$$\mathfrak{F}^{-1}_{r} \left ( -ir \right )^{n-1} \mathfrak{F}_{t} g= \partial _{t}^{n-1}g$
A Hilbert-transzformálttal kapcsolatban megmutattuk, hogy
$$ \mathfrak{F}^{-1}_{r} i sgn\left ( r \right ) \mathfrak{F}_{t} g= \mathfrak{H}_{t} g$
melyekből:
$$ f=\frac{1}{2}\left ( 2\pi \right )^{n-1}\mathfrak{R}^{+}\mathfrak{H}^{n-1}\partial_{t}^{n-1}\mathfrak{R}f$
Mivel a sgn függvény miatt
$$\mathfrak{H}\mathfrak{H}g\left ( x \right )=-g\left ( x \right )$ az inverziós képlet másképpen viselkedik, ha n páros illetve, ha páratlan.

Kiírhatjuk tehát a páros és páratlan elemeket külön is:
$$ f=\frac{1}{2}\left ( 2\pi \right )^{n-1}\left\{\begin{matrix} \left (-1 \right )^{\left (n-2 \right )/2}\mathfrak{R}^{+}\mathfrak{H}^{n-1}\partial_{t}^{n-1}\mathfrak{R}f & \text{, ha n paros}\\ \left (-1 \right )^{\left (n-1 \right )/2}\mathfrak{R}^{+}\partial_{t}^{n-1}\mathfrak{R}f & \text{, ha n paratlan} \end{matrix}\right.$

A Hilbert-transzformált hiányának a páratlan dimenziókban alapvető jelentősége van:

amikor a Hilbert-transzformált hiányzik, egy pontban a függvény rekonstrukciójához mindössze a ponton, és szűk környezetén átmenő hipersíkokra vett Radon-transzformált szükséges a rekonstrukcióhoz
amikor a Hilbert-transzformált nem tűnik el, egy adott pontban f rekonstrukciójához a teljes szinogram szükséges

Vegyük észre, hogy n=2 esetén visszakapjuk a Radon által is felírt inverziós képletet. A fentieken kívül is létezik analitikusan megadható inverz Radon - ezzel foglalkozunk a következő fejezetben.

Export

Medical Imaging

Site Language: English