A szinogram

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Integrálgeometria és Integráltranszformációk » A szinogram

A szinogram

A 2D Radon-transzformált szokásos ábrázolási módja a szinogram, mely a $$\left ( \vartheta,t \right )}$ változók koordináta-rendszerében $\mathfrak{R}f\left ( \vartheta,t \right )$ értékét intenzitásértékekként jeleníti meg.

A szinogram (azaz a Radon-transzformált eredményének) megértéséhez vizsgáljuk meg a pont és az egyenes képét.

A pont Radon-transzformáltja

Vegyünk fel egy pontot az (x₀,y₀) koordinátáknál:

$$ f\left ( x,y)=\delta \left ( x-x_{0} \right )\delta \left ( y-y_{0} \right )$
Ekkor
$\mathfrak{R}f\left ( t,\vartheta \right )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}\delta \left ( x-x_{0} \right )\delta \left ( y-y_{0} \right ) \delta \left ( t-x\cos \left (\vartheta \right )-y\sin \left ( \vartheta\right )\right )dxdy= \delta \left ( t-x_{0}\cos \left (\vartheta \right )-y_{0}\sin \left ( \vartheta\right )\right )$

Pont az (x,y) térben	Pont a szinogram térben

Az eredmény olyan pontokban ad nem nulla eredményt, melyekre igaz, hogy

$$t=x_{0}\cos \left (\vartheta \right )-y_{0}\sin \left ( \vartheta\right )$

Az eredményül kapott szinuszos függvény tehát egy pont radontranszformáltja. Ez az eredmény az oka, hogy a Radon-transzformált $$\left ( \vartheta,t \right )}$ változók szerinti ábrázolását szinogramnak nevezzük.

Az egyenes Radon-transzformáltja

Vegyünk most egy egyenest melyet paraméterezzünk a már eddig is használt offszet-szög paraméterezéssel valamilyen fix $$\left ( \vartheta_{0},t_{0} \right )$ értékekkel. Ekkor az (x,y) térben ennek az egyenesnek az egyenlete:

$$ f\left ( x,y \right )=\delta \left ( t_{0}-x\cos \left (\vartheta_{0} \right )-y\sin \left ( \vartheta_{0}\right )\right )$
Vegyük a Radon-transzformáltját:

$$\mathfrak{R}f=\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( t\cos \vartheta -s\sin \vartheta ,t\sin \vartheta +s\cos \vartheta \right )ds$
behelyettesítve
$$\int_{-\infty }^{\infty }\left \delta (t_{0}- \left (t\cos \vartheta -s\sin \vartheta \right )\cos \vartheta _{0} -\left (t\sin \vartheta +s\cos \vartheta \right )\sin \vartheta _{0} \right ) ds= \int_{-\infty }^{\infty }\left \delta (t_{0}- t\cos\left ( \vartheta -\vartheta_{0} \right ) -s\sin \left (\vartheta-\vartheta_{0} \right ) \right ) ds$
Kiemelve s együtthatóját:
$$ \int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\left | sin \left (\vartheta-\vartheta_{0} \right ) \right |} \left \delta (\frac{t_{0}- t\cos\left ( \vartheta -\vartheta_{0} \right )}{sin \left (\vartheta-\vartheta_{0} \right )} -s \right ) ds$

Ha $$\vartheta\neq \vartheta_{0}$ a kifejezés eredménye
$$ \frac{1}{\left | sin \left (\vartheta-\vartheta_{0} \right ) \right |}$
mely korlátos eredményt szolgáltat, hiszen nem tartalmazza a szingularitást.
Ha $$\vartheta= \vartheta_{0}$ , a Dirac-delta nem függ az s integrálási változótól, azaz:

$$ \int_{-\infty }^{\infty }\left \delta (t_{0}- t \right ) ds =\left\{\begin{matrix} \infty \mid t_{0}=t\\ 0 \mid t_{0}\neq t \end{matrix}\right.$

Végeredményünk tehát a $$\left ( \vartheta_{0},t_{0} \right )$ pontban ad értéket a szinogramon, ha a véges tagtól eltekintünk.

Egyenes az (x,y) térben	Egyenes Radon-transzformáltja (közelítés)

Általános szinogramok

Egy szinogram értelmezése nem egyszerű feladat, kiindulópontként a fentiek alapján a szinogram pontszerű elemeit általában megfeleltethetjük egyeneseknek. Gyakrabban megjelenő, felismerhető alakzatok a szinuszos jellegű képletek, melyek az eredeti kép kompakt alakzatainak felel meg.

A továbbiakban néhány ad-hoc szinogram-példát közlünk.

Nem centrált korong:

kép az (x,y) térben	Szinogram (Radon-transzformált) X-tengely: szög, Y-tengely: t paraméter

Nem centrált négyzet:

kép az (x,y) térben	Szinogram (Radon-transzformált) X-tengely: szög, Y-tengely: t paraméter

Shepp-Logan fej-fantom:

kép az (x,y) térben	Szinogram (Radon-transzformált) X-tengely: szög, Y-tengely: t paraméter

Egy csikó fényképe:

Csikó képe	Csikó képének Radon-transzformáltja

A következő fejezetben a Radon-transzformált általános tulajdonságaival foglalkozunk.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

A szinogram

A szinogram

A pont Radon-transzformáltja

Az egyenes Radon-transzformáltja

Általános szinogramok

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English