Loading...
 
PDF Print

A szűrt visszavetítés megvalósítása

A Radon inverziós formula kétdimenziós esetben felírható a következőképpen):

$ f\left ( x,y \right )= \frac{1}{\left (2\pi \right )^{2}} \int_{0}^{\pi}\int_{-\infty }^{\infty} \left |r \right |e^{ir\boldsymbol{x}\boldsymbol{\omega} }\mathfrak{F}\left (Rf \right )_{t}\left [ r \right\boldsymbol{\omega} ]drd\theta polárkooditánáták szerint írható le.

A szög szerinti visszavetítés előtt tehát a mérési eredményként nyert Radon-transzformáltat Fourier-transzformáljuk, megszorozzuk $\left |r \right |-rel, majd r szerint inverz Fourier-transzformáljuk. Ez az eljárás tulajdonképpen egy frekvenciatérben $\left |r \right |-rel végzett szűrés.Jelölhetjük ezt a szűrési eljárást a $\mathfrak{G}szűrési operátorral, és az |r| szűrőfüggvény helyett bevezethetjük a $ v\left ( r \right ) általánosabb jelölést. Korábbi jelöléseinkkel tehát:
$ \mathfrak{G}=\mathfrak{F}_{r}^{-1}\left [\mathfrak{F}_{t}\left [ \mathfrak{R}f\left ( t \right ) \right ]\left ( r )v( r) \right ]
A Fourier konvolúciós tétel értelmében a Fourier-térben vett szorzás felírható a tértartományban konvolúcióként.
Ekkor a szűrési operátor felírható a következőképpen is:
$\mathfrak{G}=\int_{-\infty }^{\infty} \left (\mathfrak{R}f \right )\left ( t, \right\vartheta )\phi \left ( t-\boldsymbol{x}\boldsymbol{\omega} \right ) dt =\mathfrak{R}f*_{t}\phi\left ( \boldsymbol{x}\boldsymbol{\omega} \right )
Tehát a rekonstrukció összefoglalóan:
$ f\left ( x,y \right )= \frac{1}{ 2\pi } \int_{0}^{\pi} \left \mathfrak{G} (Rf \right )\left ( \boldsymbol{x}\boldsymbol{\omega}, \right\boldsymbol{\omega} ) d\theta.

Szűrőfajták

 
Mivel az \left |r \right | felüláteresztő szűrőként a numerikus (és egyéb) zajokat felerősíti, a szűrést \left |r \right | helyett annak egy numerikusan jobban viselkedő változatával helyettesítjük. A legegyszerűbb szűrő, a Ram-Lak (Ramachandran-Lakshminarayan) szűrő, mely egy adott L frekvenciatérben értelmezett sávszélességnél a szűrőt lenullázza, azaz
$ v_{Ram-Lak}\left ( r \right )= \left\{\begin{matrix} \left |r \right | & :ha \left |r \right |< L \\ 0& : \textsl{ha nem} \end{matrix}\right.
Ha a szűrést a térkoordináták szerint végezzük, akkor:

$ \phi_{Ram-Lak} \left ( Lt \right )= \frac{L^{^{2}}}{4\pi ^{2}}\left \{ sinc\left ( Lt \right ) \right -\frac{1}{2}sinc^{2}\left ( \frac{Lt}{2} \right )\}=\frac{L^{^{2}}}{4\pi ^{2}} \{ \frac{\sin \left ( Lt \right )}{Lt} \right +\frac{\cos\left ( Lt \right )-1}{(Lt)^{2}} \}
itt a jobb oldalon a kifejezés szakirodalomban gyakran előforduló ekvivalens átalakítása található.

  • Ram-Lak filter frekvencia- és tartományban:
Image
Ram-Lak szűrő a frekvenciatartományban
Image
Ram-Lak szűrő a tértatrományban

Néhány további szűrő:

  • Shepp_Logan

Frekvenciatartományban:
$ v_{Shepp-Logan}=\left |r \right |\textup{sinc}\left ( r\frac{\pi}{2} \right ) | 0\leq r\leq 1
Tértartományban:
$\phi_{Shepp-Logan} =\frac{L^{2}}{2\pi^{3}}\frac{\frac{\pi}{2}-Lt\sin\left ( Lt \right )}{\left (\frac{\pi}{2} \right )^{2}-(Lt)^{2}}

Image
Shepp-Logan szűrő a frekvenciatartományban
Image
Shepp-Logan szűrő a tértatrományban
  • koszinuszos

Frekvenciatartományban:
$ v_{cos}=\left |r \right |\cos\left ( r\frac{\pi}{2} \right ) | 0\leq r\leq 1
Tértartományban:
$ \phi_{Cos} \left ( Lt \right )=\phi_{Ram-Lak} \left ( Lt-\frac{\pi}{2} \right )+\phi_{Ram-Lak} \left ( Lt+\frac{\pi}{2} \right )

A lehetséges szűrők száma végtelen, gyakran alkalmazzák például még például a Hanning, és Hamming szűrőket. A szűrők tervezéséhez szükséges célfüggvényt a Fourier Inverziós Formulából nem tudjuk meghatározni, ehhez egy lépést vissza kell mennünk, és olyan képletet kell találnunk, mely a szűrők segítségével elért közelítőleges inverz Radon-transzformált minőségi jellemzőit is bemutatja. Ezelőtt fontos tisztázni atöbb dimenziós Központi Szelet Tételt, és ezt követően az inverziós képleteket értelmezni.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…