A mintavételezés elméleti alapjai, alaptörvényei

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » A mintavételezés elméleti alapjai, alaptörvényei

A lineáris invariáns rendszerek leírása során megismert és alkalmazott matematikai eszközöket és eljárásokat alkalmazzuk invariáns kvantált, azaz diszkretizált rendszerek leírására, jellemzésére. A kvantálás művelete nem lineáris transzformáció. A folytonos, azaz valós értékekkel jellemzett térből diszkrét, azaz egész számértékekkel leírt halmazba képezünk le. Ennek a folyamatnak az alaptörvényeit és következményeit írjuk le a fejezetben egydimenziós megközelítésben. A paraméter érték jelen leírásban időt reprezentál, azaz a kvantálási folyamat leírását időben lejátszódó események, jelenségek mentén tárgyaljuk (de „t” a korábbiakhoz hasonlóan általános bemenő paramétert /azaz értelmezési tartományt/ is képviselhet. Az alkalmazott formalizmus, tárgyalásmód teljesen analóg).

Analóg és digitális információ feldolgozás kapcsolata

A 33.ábrán látható diagramból leolvasható, hogy az adatfeldolgozó egység határozza meg a rendszerben lejátszódó folyamat különböző jellemző paramétereit. A rendszer folyamat jellemzői a kvantálási és diszkretizálási műveleteket elkerülve analóg eljárásokkal is kiértékelhetők /ennek eszköztárát és módszereit taglalták az előző fejezetek/. Az $y(t) jelfeldolgozás digitális úton csak a paraméter érték mentén történő kvantálás és a paraméterhez tartozó függő változó diszkretizálása, azaz digitális szám értékké történő transzformálása után történhet.

Így a blokkvázlat:

33. ábra

Az $y(t) jel digitalizálása két lépésben történik:
a) idő kvantálással
b) amplitúdó kvantálással.

Az időkvantálást végző egység a mintavételező.
Az amplitúdókvantálást végző egység a kvantáló vagy A/D átalakító.

Mintavételező:
Az időben és amplitúdóban folytonos - azaz értelmezési tartományban és érték készletben valós értékű - jelet amplitúdóban folytonos (azaz érték készletben valós) de időben (azaz értelmezési tartományban) diszkrét jelsorozattá alakítja. $$\{y_{i}\}=\{y(iT)\}$ , ahol $$y_{i}$ megegyezik a folyamat $iT helyen felvett pillanatértékével és “i” természetes szám.

34. ábra

-t mintavételi időnek (álatlános paraméterre vonatkozóan mintavételi ablaknak) nevezzük.

Kvantáló egység:
Az amplitúdóban folytonos - azaz érték készletben valós - jelet diszkrét jellé, értékké alakítja át. A kvantáló tehát olyan nem lineáris eszköz, melynek karakterisztikája: $$y=y_{i}$ , ha $$x_{i} < x < x_{i+1}$ i=1,2,......N, ahol természetes szám, a paraméter mintavételi száma. a diszkretizált egész értékű értékkészlet, azaz a kvantáló egység kimenő értékei, még a kvantáló egység bemenő paraméterei az értékek (lásd 35.ábra).

35. ábra

a kvantáló kimenőjele
a kvantáló bemenőjele

Így az analóg $y(t) jelsorozat egy véges pontosságú jelsorozattá alakul.
Ezután vizsgáljuk meg a mintavételezett és kvantált folyamatok tulajdonságait, hogy következtetni tudjunk az analóg és digitális jelanalízisek közötti kapcsolatra.

Mintavételezési törvény

Egy adott mintaregisztrátum és a Fourier-transzformáltja közötti kapcsolatot vizsgáljuk

36. ábra

37. ábra

A jel Fourier-transzformáltja: $${X(f,T)=\mathfrak{F}\left \{ x(t,T) \right \}=\int_{-\infty }^{\infty }x(t,T)e^{-j2{\pi}ft}dt}$

Ismételjük meg az $x(t,T) jelet periódikusan a $$-\infty<t<\infty$ tartományban.

Ezen $x_p(t,T)=1_T(t)x(t,T) periódikus függvény Fourier-sora létezik és ezt fel is írhatjuk.

$$x_p(t,T)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{jk\frac{2\pi}{T}t}$ , ahol a Fourier-sor együtthatói így számítjuk: $$c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jk\frac{2\pi}{T}t}dt$ , azaz a Fourier-együtthatók összessége egyértelműen meghatározzák az $x_p(t,T)=1_T(t)x(t,T) periódikus folyamatot.

A
$$\left.\begin{matrix} X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2{\pi}ft}dt=\mathfrak{F}\left \{ x(t) \right \} \\ \\ c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jk\frac{2\pi}{T}t}dt \end{matrix}\right\}$ összevetéséből megállapíthatjuk, hogy $$Tc_k=X(k\frac{1}{T},T)$

Azaz a $$c_{k}$ Fourier-együtthatók ismeretében az $x(t,T) jel Fourier-spektrumának $$f=\frac{1}{T}k$ pontokban felvett értékei megadhatók.

Ezek viszont meghatározzák $x(t,T) értékeit minden időpillanatban.

A mintavételezés első törvénye:

Az időben véges jelek Fourier-transzformáltját az $X(f,T) függvényt az $$f=\frac{k}{T}$ pontjaiban felvett értékei minden pontban meghatározzák.

Ezutáni vizsgálatainkhoz tekintsük az alábbi korlátozott sávszélességű spektrumot!

38. ábra

Állítható, hogy ebből a spektrumból meghatározható az ő időfüggvénye.

$$x(t,B)=\mathfrak{F}^{-1}\left \{ x(f,B) \right \}=\int_{-\infty}^{\infty}x(f,B)e^{j2{\pi}ft}df=\int_{-B}^{B}X(f)e^{j2{\pi}ft}df$

Az előbbiekhez hasonlóan, most az $X(f,B) jelet ismételjük meg az egész frekvencia-tartományon: $$-\infty<f<\infty$ .

Így kapunk egy $X_p(f,B)=1_B(f)X(f,B) periódikus jelet.

Ezen jel Fourier-sora:
$$X_p(f,B)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}D_ke^{-jk\frac{2{\pi}}{2B}f}$ , ahol az egyes együtthatók értéke:

$$D_k=\frac{1}{2B}\int_{-B}^{B}X(f,B)e^{+jk\frac{2{\pi}}{2B}f}df$

Így
$$\left.\begin{matrix} x(t,B)=\int_{-B}^{B}X(f)e^{jk2{\pi}ft}df \\ \\ D_k=\frac{1}{2B}\int_{-B}^{B}X(f,B)e^{jk\frac{2{\pi}}{2B}f}df \end{matrix}\right\}$ egyenleteket összevetve adódik, hogy $$2BD_k=x\left(\frac{k}{2B},B\right)$

Vagyis -k összessége megadja az $X_p(f,B)=1_B(f)X(f,B) periódikus függvényt.

Továbbá az is leolvasható, hogy az $x(t,B) függvény $$t_k=\frac{k}{2B}$ pontban felvett értékeit egyértelműen meghatározzák a $$D_{k}$ együtthatók.

Mivel $$D_{k}$ -k $X(f,B) -t mindenütt meghatározzák, ezért $x(t,B) -t is minden pontban meghatározzák.

Mintavételezés II. törvénye:

Véges $$\pm B$ sávszélességű jelet a $$t_k=\frac{k}{2B}$ pontban felvett értékei egyértelműen meghatározzák.

Mintavételi törvények matematikai értelmezése:

Itt az időtartománybeli mintavételezés esetével foglalkozunk, azaz a mintavételezés II. törvényével foglalkozunk részletesebben.

Így a II. törvény értelmezésében a $$\pm B$ sávszélességű spektrum által meghatározott jelet a $$\left \{ t_k=\frac{k}{2B} \right \}$ pontban felvett értékei egyértelműen meghatározzák.

Nézzük meg a mintavételi értékekből hogyan kapjuk az $x(t,B) időfüggvényt!

$$\left.\begin{matrix} x(t,B)=\mathfrak{F}^{-1}\left \{ x(f,B) \right \}=\int_{-\infty}^{\infty}x(f,B)e^{j2{\pi}ft}df=\int_{-B}^{B}X(f)e^{j2{\pi}ft}df=\sum_{k=-\infty}^{\infty}D_k\int_{-B}^{B}e^{j2{\pi}f(t-\frac{k}{2B})}df\\ \\ D_k=x\left(\frac{k}{2B}\right)\frac{1}{2B} \end{matrix}\right\}$

Így
$$x(t,B)=\int_{-B}^{B}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x \left (\frac{k}{2B}\right) \frac{1}{2B}e^{j2{\pi}f(t-\frac{k}{2B})}df=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2B}x\left (\frac{k}{2B}\right)\int_{-B}^{B}e^{j2{\pi}f(t-\frac{k}{2B})}df$

Adjuk meg az $$\int_{-B}^{B}e^{j2{\pi}f(t-\frac{k}{2B})}df$ integrál értékét!

$$\int_{-B}^{B}e^{j2{\pi}f(t-\frac{k}{2B})}df=\frac{1}{j2\pi(t-\frac{k}{2B})}\left [ e^{j2{\pi}f(t-\frac{k}{2B})} \right ]_{-B}^B=\frac{1}{\pi(t-\frac{k}{2B})}\frac{e^{j2{\pi}B(t-\frac{k}{2B})}-e^{-j2{\pi}B(t-\frac{k}{2B})}}{2j}$

azaz

$$\int_{-B}^{B}e^{j2{\pi}f(t-\frac{k}{2B})}df=\frac{ \text{sin}\left [ 2{\pi}B(t-\frac{k}{2B}) \right ]}{{\pi}(t-\frac{k}{2B})}=2B\frac{ \text{sin}\left [ 2{\pi}B(t-\frac{k}{2B}) \right ]}{2{\pi}B(t-\frac{k}{2B})}$

Így ezt behelyettesítve adódik, hogy

$$x(t,B)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x \left (\frac{k}{2B} \right )\frac{1}{2B}2B\frac{ \text{sin}\left [ 2{\pi}B(t-\frac{k}{2B}) \right ]}{2{\pi}B(t-\frac{k}{2B})}$

$$x(t,B)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x\left (\frac{k}{2B}\right )\frac{ \text{sin}\left [ 2{\pi}B(t-\frac{k}{2B}) \right ]}{2{\pi}B(t-\frac{k}{2B})}$

Így ezen II. törvény matematikai értelmezése a következő:

Bármelyik véges sávszélességű Fourier-transzformálható $x(t,B) jel a $$ \left \{ \frac{ \text{sin}\left [ 2{\pi}B(t-\frac{k}{2B}) \right ]}{2{\pi}B(t-\frac{k}{2B})} \right \}$ függvényhalmazon sorba fejthető és a sorfejtés -adik tagjának együtthatója az $x(t,B) függvény $$ t=\frac{k}{2B}$ helyen felvett értéke.

Teljes analóg gondolatmenet végigvezetve így szól a mintavételezés I. törvényének matematikai értelmezése:

A időtartam szélességű $x(t,T) jel frekvencia tartománybeli sorfejtése:

$$X(f,T)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\frac{k}{T})\frac{ \text{sin}\left [ {\pi}T(f-\frac{k}{T}) \right ]}{{\pi}T(t-\frac{k}{T})}$
Ahol a sorfejtés -adik tagjának együtthatója az $X(f,T) függvény $$ t=\frac{k}{2B}$ helyen felvett értéke.

Mintavételi törvények fizikai értelmezése:

A fizikai értelmezés célja:

A mintavételező egység bemenetén lévő $x(t) folyamat és a kimenetén megjelenő $x_1(t) mintavételezett folyamat közti kapcsolat tisztázása.

39. ábra

Ez a bemenő függvény, ezt fogjuk mintavételezni.

40. ábra	41. ábra
Ezen egyszerű mintavételező modell kapcsolási függvénye az ábrán látható. Ideális esetben $$\frac{\Delta T}{T} \rightarrow 0$

42. ábra

Az $x(t) mintavételezett időfolyamat időfüggvénye $x_1(t)=s(t)x(t)

A mintavételezett folyamat tehát az idő-tartományban így írható fel:
$$ x_{1}(t)=s(t)x(t)$

E mintavételezett folyamat frekvencia-tartománybeli viselkedése a konvolúció-tétel alapján az alábbiak szerint írható fel!
$$X_{1}(f)=S(f) \ast X(f)$

Ahol $$X_{1}=\mathfrak{F}\left \{x_{1}(t)\right \}; X(f)=\mathfrak{F}\left \{x(t)\right \}$ és $$S(f)=\mathfrak{F}\left \{s(t)\right \}$ .
Mivel $s(t) kapcsolási függvény egy periódikus függvény, ezért Fourier-transzformáltja a 2.6.3. és 2.6.4. fejezetben leírtak alapján a $$\delta(t)$ Dirac-delta függvény segítségével az alábbiak szerint határozható meg.

$$ \left.\begin{matrix} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau) d\tau = \int^{t}_{-\infty} \delta(\tau) d\tau = 1\\ \\ \frac{\partial1(t)}{\partial t}=\delta(t)\\ \\ \int_{\infty}^{-\infty}f(t)\delta(t-t_{0})dt=f(t_{0}) \end{matrix}\right\}$ Ezek a Dirac-delta legfontosabb tulajdonságai.

Így, ha egy $s(t) függvény periódikus függvény akkor ennek a Fourier-sora mint ismeretes:
$$ $s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{j2\pi ktf}, \text{ ahol } \begin{matrix} c_{k}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}s(t)e^{-j2\pi kft}dt\\ \\ c_{k}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}s(t)e^{-j2\pi \frac{k}{T}t}dt \end{matrix}$

A Dirac-delta-függvény segítségével így írhatjuk fel a periódikus függvény Fourier-transzformációját!

$$ S(f)=\mathfrak{F}\left \{s(t)\right \}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\delta\left (f-\frac{k}{T}\right )=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left (\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s(t)e^{-j2\pi \frac{k}{T}t}dt\right)\delta\left(f-\frac{k}{T}\right)$

Mindezek alapján előbb felírhatjuk a kapcsolási függvény Fourier-sorát, ahol a sor -ik tagjának együtthatója:

$$ c_{k}=\frac{1}{T}\int_{\Theta-\frac{\Delta T}{2}}^{\Theta+\frac{\Delta T}{2}}1e^{-j2\pi k\frac{1}{T}t}dt=\frac{1}{T}\int_{\Theta-\frac{\Delta T}{2}}^{\Theta+\frac{\Delta T}{2}}e^{-j2\pi \frac{k}{T}t}=\frac{1}{T}\text{ } \frac{1}{-j2\pi \frac{k}{T}}\left [ e^{-j2\pi \frac{k}{T}t} \right ]_{\Theta-\frac{\Delta T}{2}}^{\Theta+\frac{\Delta T}{2}}$

$$ c_{k}=\frac{1}{T}\text{ } \frac{1}{-j2\pi \frac{k}{T}}\left [ e^{-j2\pi \frac{k}{T}(\Theta + \frac{\Delta T}{2})} - e^{-j2\pi \frac{k}{T}(\Theta - \frac{\Delta T}{2})} \right ]=\frac{1}{T}\text{ } \frac{1}{\pi \frac{k}{T}}\text{ }e^{-j2\pi \frac{k}{T}\Theta} \left [ \frac{e^{-j2\pi \frac{k}{T}\frac{\Delta T}{2}}-e^{j2\pi \frac{k}{T}\frac{\Delta T}{2}}}{-2j} \right ]$

$$ c_{k}=e^{-j2\pi \frac{k}{T}\Theta}\text{ } \frac{\Delta T}{T} \text{ }\frac{1}{\Delta T \pi \frac{k}{T}} \left [\frac{e^{j\pi \frac{k}{T}\Delta T}-e^{-j\pi \frac{k}{T}\Delta T}}{2j} \right ] = e^{-j2\pi \frac{k}{T}\Theta}\text{ } \frac{\Delta T}{T} \text{ }\frac{ \text{sin}\pi \frac{k}{T} \Delta T}{\pi \frac{k}{T}\Delta T}$

Következésképp az kapcsolási függvény Fourier-sora:

$$s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{j2\pi \frac{k}{T}t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi \frac{k}{T}\Theta}\text{ } \frac{\Delta T}{T} \text{ }\frac{ \text{sin}\pi \frac{k}{T} \Delta T}{\pi \frac{k}{T}\Delta T} e^{j2\pi\frac{k}{T}t}$

Az s(t) kapcsolási függvény Fourier-transzformáltja a 2.6.4-ben leírtak szerint:
$$ S(f)=\mathfrak{F}\left \{ s(t) \right \} =\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\delta \left(f-\frac{k}{T}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi\frac{k}{T}\Theta}\text{ }\frac{\Delta T}{T}\text{ }\frac{ \text{sin}\pi \frac{k}{T}\Delta T}{\pi \frac{k}{T}\Delta T} \delta\left(f-\frac{k}{T}\right)$

Így a mintavételezett folyamat frekvencia-tartománybeli leírása.
$$ X_{1}(f)=X(f)\ast S(f) = \int_{-\infty}^{\infty}X(\nu)S(f-\nu)d\nu = \int_{-\infty}^{\infty}X(\nu) \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi \frac{k}{T}\Theta}\text{ }\frac{\Delta T}{T}\text{ }\frac{ \text{sin}\pi \frac{k}{T} \Delta T}{\pi \frac{k}{T} \Delta T} \delta \left [ \left(f- \frac{k}{T} \right)-\nu \right]d\nu$

$$ X_{1}(f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi \frac{k}{T}\Theta}\text{ }\frac{\Delta T}{T}\text{ }\frac{ \text{sin}\pi \frac{k}{T} \Delta T}{\pi \frac{k}{T} \Delta T} \int_{-\infty}^{\infty}X(\nu) \delta \left [ \left(f- \frac{k}{T} \right)-\nu \right]d\nu = \sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi \frac{k}{T} \Theta}\text{ }\frac{\Delta T}{T}\text{ }\frac{ \text{sin}\pi \frac{k}{T} \Delta T}{\pi \frac{k}{T} \Delta T} X\left(f-\frac{k}{T}\right)$

Nézzük meg milyen következtetések vonhatóak le az
$$X_{1}(f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-j2 \pi \frac{k}{T} \Theta}\text{ }\frac{\Delta T}{T}\text{ }\frac{ \text{sin}\pi \frac{k}{T} \Delta T}{\pi \frac{k}{T} \Delta T} X\left(f-\frac{k}{T}\right)$ összefüggésemből.

1.) A mintavételezett jel Fourier-transzformáltja a bemeneti jel spektrumának a frekvencia tengely mentén súlyozott $$\frac{1}{T}$ szerint periódikus ismétlésével nyerhető.

43. ábra

2.) Ha a mintavételező modellje: "Elektromos kapcsolási kapu" az ilyen $x(t) jel energiatartalma $$\left(\frac{\Delta T}{T}\right)$ arányában csökken. Ideális mintavételezés esetén előírható az $x_1(f) sorozat egy tagja és $x(f) energiatartalmának azonossága. Így biztosítani kell, hogy $$\Delta T$ csökkentésével az átvitt energia növekedjen. Ha a kapcsolási függvényt úgy módosítjuk, hogy amplitúdója $$\frac{T}{\Delta T}$ legyen, akkor ezt biztosítani tudjuk.

3.) Ideális mintavételezés esetén, ha $$B<\frac{1}{2T}$ feltétel teljesül, akkor a periódikusan ismétlődő spektrumok nem fedik át egymást. Így egy $$f_{k}=\frac{1}{2T}$ sávszélességű ideális aluláteresztő szűrővel $x(t) bemeneti jel torzítás nélkül előállítható.
4.) Ha a jel sávszélessége $2B és a $$t<\frac{1}{2B}$ mintavételezési idő kielégíti a mintavételi törvényt a sávközép helyzetétől függetlenül és a jelet torzítás nélkül elő lehet állítani.
A mintavételi időt a jel sávszélessége és nem felső határfrekvenciája határozza meg.

Export

Medical Imaging

Site Language: English