A képrekonstrukció diszkrét bázisa

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Képrekonstrukció algebrai összefüggésekkel » A képrekonstrukció diszkrét bázisa

Vegyünk egy lineáris operátort, mely leírja a képalkotás folyamatát. Kiinduló terünk legyen az n dimenziós valós számok halmaza, az operátor képezze le ezt a mérési adatok szinogram-terébe. Példaként és a szemlétesség kedvéért gondolhatjuk a Radon-transzformáltat ennek az operátornak. Definiáljunk továbbá egy teljes ortogonális függvényrendszert $$ \varphi _{i}$ elemekből. Ekkor kellően jól viselkedő f(x) függvényre:
$$ f=\sum_{i}c_{i}\varphi _{i}$ (1)
Ha a választott operátorunk lineáris:
$$ \mathfrak{R}f=\sum_{i}c_{i}\mathfrak{R}\varphi _{i}$ (2)
A fizikában gyakran használunk sorfejtést differenciál-egyenletek megoldására. A fizikai mennyiségek gyakran folytonosak, ezért pl. a Fourier-sorfejtés, vagy a polinomiális sorfejtés (Legendre, Csebisev stb.) esetleg a kettő kombinációja (pl. gömbfüggvények) jönnek szóba. Gömbfüggvény-sorfejtéssel történő inverz Radon-transzformáció előfordul a szakirodalomban, de nem nyert mára komolyabb szerepet.

Ha ortonormált bázissal dolgozunk, akkor definíció szerint
$$ \int \varphi _{i}\varphi _{j}=\delta _{ij}$ (3)
az (2) egyenlet mindkét oldalát $$\varphi _{i}$ beszorozva, majd integrálva az együttható megkapható a következőképpen:
$$ c_{i}=\int \varphi _{i} f$ (4)

A (3) és (4) egyenlet nem csak teljes ortogonális függvényrendszerekre igaz, vehetünk például egy diszkretizációs bázist $$\Pi\left ( \mathbf{x} \right )_{i}$ , mely olyan karakterisztikus függvény, mely az i. térrészben $$1/\sqrt{\left | \Delta x_{i} \right |}$ , máshol 0; ahol $$\left | \Delta x_{i} \right |$ az i. térrész mérete. A (3) és (4) egyenletek teljesüléséhez ki kell kötnünk, hogy a függvényrendszer elemei legyenek diszjunktak. A könnyebb számítások érdekében ez általában strukturált rácsot jelent, például három dimenzióban kockarácsot. Ha f folytonos, akkor az (1) egyenlet már csak közelítőleg teljesül. Kiírva N db térrész esetén:

$$ f=\sum_{i}^{N}\Pi_{i}\left ( \mathbf{x} \right )c_{i}$

Vegyük észre, hogy ezzel a bázissal f felbontása az i. tértartományra vett integrál-átlagértékeket jelenti az adott tértartományon értelmezett 1 magas karakterisztikus függvénnyel.

Ezeket a térbeli bázisokat, "pixeleket" hívjuk "voxeleknek" az angol "volumetric pixel" szókapcsolatból. Ha három dimenzióról beszélünk. A bázisfüggvényeket elláthatnánk 3 indexszel is a három térkoordinátának megfelelően. Mivel megszámlálhatók egy indexszel is, ezt jelölést nem alkalmazzuk, az i index minden egyes tértartományt minden dimenzió szerint bejár.

Hasonló diszkretizációt alkalmazhatunk a szinogram-térben is, ahol a $$ t,\boldsymbol{\omega }$ téren kell ezt a diszkretizációs lépést elvégeznünk. Ezt a jelölést értsük általánosan, azaz jelölhesse a Sugár-transzformált változóit is. Jelöljük ezen a téren a felbontást így: $$\Pi_{j}\left ( t,\boldsymbol{\omega } \right )$ . A szinogram tér diszkrét felbontásakor a gyakorlatban a Sugár-transzformált felbontására kell gondolni, röntgenkészülék esetén például a forrást és egy detektorpixelt összekötő tértartományra, vagy például a pozitron emissziós tomográfiában a koincidenciában megszólaló detektorokat összekötő tartományra, melyeket válaszegyenesnek (Line of Response, LoR) nevezünk.

Felírhatjuk ekkor:
$$ \mathfrak{R}f=\sum_{j}^{M}\Pi_{j}\left ( t,\boldsymbol{\omega } \right )y_{j}$

Az y_j együtthatókat ekkor a következőképpen fejezhetjük ki:
$$ y_{j}=\int \Pi_{j}\left ( t,\boldsymbol{\omega } \right )\mathfrak{R}f=\int \Pi_{j}\left ( t,\boldsymbol{\omega } \right )\mathfrak{R}\sum_{i}^{N}c_{i}\Pi_{i}\left (\mathbf{x}\right )=\sum_{i}^{N}c_{i}\underbrace{\int \Pi_{j}\left ( t,\boldsymbol{\omega } \right )\mathfrak{R}\Pi_{i}\left (\mathbf{x}\right )}_{A_{ij}}$

Szokásos jelölés a c_i együtthatók helyett a x_i jelölés, utalva arra, hogy ezek az együtthatók a keresett ismeretlenek. Mátrixos jelölésmóddal tehát a következő egyenletrendszert kell megoldanunk:
$$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$

A levezetésnél nem volt feltételünk, hogy az operátorunk a Radon-transzformált legyen, elég, ha lineáris operátor és szinogram-térbe vetít. Az A mátrix fontos tulajdonsága, hogy nem négyzetes, ezért közvetlenül nem is invertálható. A gyakorlatban elemeit tekintve ritka mátrix, hiszen egy-egy voxel csak néhány, a voxelen átmenő válaszegyenesre ad járulékot. Tipikus méretét tekintve például egy PET szkenner esetén dimenziói lehetnek, akár 10⁶x10⁵.

A fenti egyenlet mátrix-inverziós megoldásával foglalkozunk akövetkező szakaszban.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

A képrekonstrukció diszkrét bázisa

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English