A Radon-transzformált tulajdonságai

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Integrálgeometria és Integráltranszformációk » A Radon-transzformált tulajdonságai

A Radon-transzformált alapvető tulajdonságai

A Radon-transzformált itt megfogalmazott tulajdonságai kimondhatóak a dimenziók számától függetlenül, jelen fejezet mégis a kétdimenziós esetet tárgyalja, hiszen az orvosi képalkotás gyakorlatában leginkább ezzel találkozhatunk.

Szimmetria

A paraméterválasztás $$ t\in \left \{ 0,\infty \right \}$ és $$ \vartheta\in \left \{ 0,2\pi \right \}$ egyértelműen leírja a Radon-transzformált minden elemét, hiszen

$$ \mathfrak{R}f\left ( t,\vartheta \right )=\mathfrak{R}f\left ( -t,\vartheta+\pi \right )$

Linearitás

A Radon-transzformált definíciójából következik, hogy $$\alpha _{i}$ konstansokra és f_i függvényekre
$$\mathfrak{R}\left ( \sum_{i}\alpha _{i}f_{i} \right )= \sum_{i}\alpha _{i}\mathfrak{R}f_{i} \right )$

Eltolási tétel

Legyen
$$ h\left ( x,y \right )=g\left ( x-x_{0},y-y_{0} \right )$
Ekkor
$$ \mathfrak{R}h\left ( t,\vartheta \right )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}g \left ( x-x_{0}, y-y_{0} \right ) \delta \left ( t-x\cos \vartheta -y\sin \vartheta\right )dxdy$
vezessünk be új változókat:
$$x':=x-x_{0},y':=y-y_{0}$
ekkor:
$$\mathfrak{R}h\left ( t,\vartheta \right )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}g \left ( x', y' \right ) \delta \left ( t-x_{0}\cos \vartheta -y_{0}\sin \vartheta - x'\cos \vartheta -y'\sin \vartheta \right )dx'dy'$
Vezessünk be új jelölést t-re:
$$t'=t-x_{0}\cos \vartheta -y_{0}\sin \vartheta$
Ekkor:
$$ \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}g \left ( x', y' \right ) \delta \left ( t' - x'\cos \vartheta -y'\sin \vartheta \right )dx'dy'=\mathfrak{R}g\left ( t', \vartheta\right )$

Az eltolási transzformáció tehát a Radon-transzformált $$ \vartheta$ változóját nem befolyásolja, az affin t paraméter pedig $$ \vartheta$ és az eltolási paramétereket tartalmazó transzformációt szenved.

Elforgatás

A könnyebb áttekinthetőség érdekében dolgozzunk $$(r,\varphi)$ polárkoordináta-rendszerben, ekkor a 2D Radon-transzformált alakja:
$$\mathfrak{R}f\left ( t, \vartheta\right )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}f \left ( r, \varphi \right ) \delta \left ( t - r\cos \varphi\cos \vartheta -r\sin \varphi\sin \vartheta \right )\left | r \right |drd\varphi= \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}f \left ( r, \varphi \right ) \delta \left ( t - r\cos \left (\varphi-\vartheta \right )\right )\left | r \right |drd\varphi$

Legyen tehát a $$ \varphi_{0}$ szöggel elforgatott függvényünk:
$$ h\left ( r,\varphi\right )=g\left ( r,\varphi- \varphi_{0}\right )$

Tehát:
$$\mathfrak{R}h\left ( t, \vartheta\right )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}g \left ( r, \varphi-\varphi_{0} \right ) \delta \left ( t - r\cos \left (\varphi-\vartheta \right ) \right )\left | r \right |drd\varphi$
Vezessünk be új integrálási változót:
$$\varphi':=\varphi-\varphi_{0}$

Ekkor:
$$\mathfrak{R}h\left ( t, \vartheta\right )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}g \left ( r, \varphi' \right ) \delta \left ( t - r\cos \left (\varphi'+\varphi_{0}-\vartheta \right ) \right )\left | r \right |drd\varphi' =\mathfrak{R}g\left ( t, \varphi_{0}-\vartheta\right )$

Skálázás

Válaszunk 0<a, 0<b konstansokat, és skálázzuk át a változóinkat:

$$ h\left ( x,y \right )=g\left ( \frac{x}{a},\frac{y}{b} \right )$

"h" Radon-transzformáltja tehát:

$$\mathfrak{R}h\left ( t,\vartheta \right )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}g \left ( \frac{x}{a}, \frac{y}{b} \right ) \delta \left ( t-x\cos \vartheta -y\sin \vartheta\right )dxdy$

Megint válasszunk új integrálási változókat: $$x':=\frac{x}{a}, y:=\frac{y}{b}$ továbbá válasszunk egy újabb $$\gamma$ változót:
$$\mathfrak{R}h\left ( t,\vartheta \right )=\frac{ab}{\left |\gamma \right | } \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}g \left ( x', y' \right ) \delta \left ( \frac{t}{\gamma }-x'\frac{a\cos \vartheta}{\gamma } -y'\frac{b\sin \vartheta}{\gamma }\right )dx'dy'$
Tegyük fel, hogy $$\gamma$ megválasztható úgy, hogy $$ \vartheta$ is helyettesíthető legyen egy $$ \vartheta'$ változóval a következőképpen:

$$ \cos\vartheta'=\frac{a\cos \vartheta}{\gamma }$ (1)
és
$$ \sin\vartheta'=\frac{b\sin \vartheta}{\gamma }$ (2)

Ehhez először a négyzetösszegeket kell normálnunk:

$$\cos ^{2}\vartheta'+\sin ^{2}\vartheta'=1$
melyből:
$$ a^{2}\cos ^{2}\vartheta+b^{2}\sin ^{2}\vartheta=\gamma^{2}$

Fejezzük ki $$\gamma$ -t az (1) és (2) egyenletekből, és tegyük egyenlővé:
$$\frac{a\cos \vartheta}{\cos \vartheta'}=\gamma =\frac{b\sin \vartheta}{\sin \vartheta'}$
Ebből pedig:
$$\tan^{-1}\left ( \frac{a}{b}\tan \vartheta \right )=\vartheta'$

Ekkor
$$\mathfrak{R}h(t,\vartheta )=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}\cos ^{2}\vartheta +b^{2}\sin ^{2}\vartheta}}\int_{-\infty }^{\infty }g(x',y')\delta \left ( t'-x'\cos \vartheta '-y\sin \vartheta ' \right )dx'dy'=\mathfrak{R}g\left ( t',\vartheta ' \right )$

ahol tehát
$$t'=\frac{t}{\sqrt{a^{2}\cos ^{2}\vartheta +b^{2}\sin ^{2}\vartheta}}$ és

$$\vartheta'=\tan^{-1}\left ( \frac{a}{b}\tan \vartheta \right )$

Konvolúció

Legyen
$$ h\left ( x,y \right )=f*^{x}*^{y}g=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( x_{1},y_{1} \right )g\left ( x-x_{1},y-y_{1} \right ) dx_{1}dy_{1}$
ahol a $$*^{x}*^{y}$ jelölés az x és az y dimenzió szerint elvégzett konvolúciókat jelöli.
h Radon-transzformáltja ekkor:
$$ \mathfrak{R}h= \int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( x_{1},y_{1} \right )g\left ( x-x_{1},y-y_{1} \right )\delta \left ( t-x\cos \vartheta -y\sin \vartheta \right ) dx_{1}dy_{1}dxdy$

A dxdyintegrálás a g függvény $$ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ pontba való eltolásának Radon-transzformáltja, így az eltolási tétel szerint:
$$\mathfrak{R}h= \int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( x_{1},y_{1} \right )\mathfrak{R}g\left ( t-x_{1}\cos \vartheta -y_{1}\sin \vartheta,\vartheta\right ) dx_{1}dy_{1}$
Bővítsük a felírást egy t₁ új változó szerinti integrálással és egy Ditrac-delta függvénnyel, majd végezzük el az $$x_{1},y_{1}$ szerinti integrálást:
$$\mathfrak{R}h= \int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( x_{1},y_{1} \right )\mathfrak{R}g\left ( t-t_{1},\vartheta\right )\delta \left ( t_{1}-x_{1}\cos \vartheta -y_{1}\sin \vartheta \right ) dx_{1}dy_{1}dt_{1}= \int_{-\infty }^{\infty }\mathfrak{R}f\left ( t_{1},\vartheta \right )\mathfrak{R}g\left ( t-t_{1},\vartheta\right )dt_{1}$
Ami nem más,mint konvolúció a t affin paraméter szerint a szinogram-térben. Kompaktabb jelölésmóddal:
$$ \mathfrak{R}h=\mathfrak{R} \left [ f*^{x}*^{y}g \right ] =\left [\mathfrak{R}f \right ]*^{t}\left [\mathfrak{R}g \right ]$

Azaz a két térkoordináta szerinti konvolúció a szinogram térben csak az affin paraméter szerinti konvolúciót érinti. Ennek a ténynek a rekonstrukcióban komoly szerepe lesz.

A következő fejezetekben a 2D Radon-transzformált diszkrét kiszámításával illetve a több dimenziós Radon-transzformációval foglalkozunk.

Export

Medical Imaging

Site Language: English