Loading...
 
PDF Print

A Laplace-transzformáció tulajdonságai és műveleti szabályai

1.) Mint azt már az előzőekben említettük a Laplace-transzformáció lineáris, melynek tulajdonságából következik a transzformáció tagonkénti elvégezhetősége:

$ \mathcal{L}\left\{\sum_{k=1}^{n}c_k f_k (t) \right\} = \sum_{k=1}^{n}c_k \mathcal{L}\left\{f_k (t)\right\} = \sum_{k=1}^{n}c_k F_k (s)

 
2.) Derivált függvény Laplace-transzformáltja:

Legyen $ f=f(t) általános belépő függvény, melynek Laplace-transzformáltja: $ F(s)=\mathcal{L} \left \{ f(t) \right \} . A kérdés, hogyan származtatható a $ \frac{\mathrm{d}f(t)}{ \mathrm{d}t} derivált függvény Laplace-transzformáltja.

Azaz a $ \mathcal{L} \left \{ \frac{\mathrm{d}f(t)}{ \mathrm{d}t} \right \} = \int_0^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{ \mathrm{d}t}e^{-st}dt integrál számítását kell elvégezni.

A kivitelezéshez a parciális integrálás szabályát alkalmazzuk:
$ \left.\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{d} t}={v}'\Rightarrow v=f(t) \\ \\ e^{-st}=u\Rightarrow {u}'=-se^{-st} \end{matrix}\right\} , ahol a ’ a „t” szerinti deriváltat jelöli jelen esetben.

Így $ \mathcal{L} \left \{ \frac{\mathrm{d}f(t)}{ \mathrm{d}t} \right \} = \int_0^{\infty}\frac{\mathrm{d}f(t)}{ \mathrm{d}t}e^{-st}dt= \left [ f(t)e^{-st} \right ]_0^{\infty} - \int_0^{\infty}(-se^{-st})f(t)dt

$ \mathcal{L} \left \{ \frac{\mathrm{d}f(t)}{ \mathrm{d}t} \right \} = s\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt-f(0)=sF(s)-f(0)

Az alkalmazott módszert induktív módon lehet használni az „n”-ed rendű derivált függvényre, azon feltétel mellett, hogy $ f=f(t) belépő függvény, és a $ \left [ 0;\infty \right ) intervallumban „n”-szer folytonosan deriválható.
$ \mathcal{L} \left \{ \frac{\mathrm{d}^nf(t)}{ \mathrm{d}t^n} \right \} =s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}\left.\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{d} t} \end{matrix}\right|_{t=0}-...\frac{\mathrm{d}^{n-1} f(t)}{\mathrm{d} t^{n-1}}=s^nF(s)-\sum_{k=1}^ns^{n-k}}}\left.\begin{matrix} \frac{\mathrm{d}^{k-1} f(t)}{\mathrm{d} t^{k-1}} \end{matrix}\right|_{t=0} ahol $ f(0); \quad \left.\begin{matrix} \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d} t} \end{matrix}\right|_{t=0} ;\cdots; \left.\begin{matrix} \frac{\mathrm{d}^{k-1} f(t)}{\mathrm{d} t^{k-1}} \end{matrix}\right|_{t=0} a magasabb max (n-1)-ed rendű derivált értékek a t=0 , azaz a belépő helyen /kezdeti feltételek/.

3.) Integrál függvény Laplace-transzformáltja:

Legyen $ f=f(t) általános belépő függvény, és $ F(s)=\mathcal{L} \left \{ f(t) \right \} .
Keresendő a $ \mathcal{L} \left \{\int_0^t f(\tau)d\tau \right \} Laplace-transzformált.

Az előzőekhez hasonlóan a Laplace-transzformáció definíciójából induljunk ki:
$ \mathcal{L} \left \{\int_0^t f(\tau)d\tau \right \} = \int_0^{\infty} \left [ \int_0^t f(\tau)d\tau \right ] e^{-st}dt

A derivált függvény meghatározásához teljesen analóg módon a parciális integrálás módszerét alkalmazzuk ismét.

$ \left.\begin{matrix} \int_0^t f(\tau)d\tau=u \Rightarrow {u}'=f(t)\\ \\ e^{-st}={v}'\Rightarrow v=-\frac{1}{s}e^{-st} \end{matrix}\right\}

$ \mathcal{L} \left \{\int_0^t f(\tau)d\tau \right \} = \int_0^{\infty} \left [ \int_0^t f(\tau)d\tau \right ] e^{-st}dt=\left [-\frac{1}{s}e^{-st} \int_0^t f(\tau)d\tau \right ]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} \left ( -\frac{1}{s} \right ) e^{-st}f(t)dt

$ \mathcal{L} \left \{\int_0^t f(\tau)d\tau \right \} =\frac{1}{s} \int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt=\frac{F(s)}{s}

A deriváláshoz teljesen hasonló és analóg módon adható meg az „n”-szeres integrál Laplace-transzformáltja:
$ \mathcal{L} \left \{ \int_0^t \left (\int_0^t \text{...} \left (\int_0^tf(\tau)d\tau \right ) d\tau \text{...} \right )d\tau \right \} =\frac{F(s)}{s^n}

4.) Hasonlósági tétel:

Legyen $ f=f(t) általános belépő függvény és $ \lambda tetszőleges valós szám.

$ \mathcal{L} \left \{ f(\lambda t)\right \} =\frac{1}{\lambda}F \left ( \frac{s}{\lambda} \right )

$ \mathcal{L} \left \{ f(\lambda t)\right \} = \int_0^{\infty} e^{-st}f(\lambda t)dt=\frac{1}{\lambda} \int_0^{\infty} e^{-\frac{s}{\lambda}(\lambda t)}f(\lambda t)d(\lambda t)

$ \mathcal{L} \left \{ f(\lambda t)\right \} =\frac{1}{\lambda}F\left (\frac{s}{\lambda} \right )

A transzformáció eme tulajdonsága a transzformáció lineáris tulajdonságára utal (lásd Fourier-transzformáció és Laplace-transzformáció mint lineáris operátor tulajdonságok ).

5.) Csillapítási tétel:

Legyen $ f=f(t) általános belépő függvény és $ \gamma egy tetszőleges valós szám.

$ \mathcal{L} \left \{ f(t)e^{-\gamma t}\right \} =F(s+\gamma)

A korábbiakból is ismert, ha $ f(t) belépő függvény, akkor $ f_1(t)=f(t) e^{-\gamma t} is az.

Így $ \mathcal{L} \left \{ f_1(t) \right \} =\int_0^{\infty} f(t)e^{-\gamma t} e^{-st}dt=\int_0^{\infty} f(t)e^{-(s+\gamma) t}dt=F(s+\gamma)

6.) Eltolási tétel

Tekintsük a 27. ábrán, illetve a 28. ábrán látható belépő és eltolt belépő függvényeket.

Image
27. ábra

 

Image
28. ábra

 
Ha az $ f=f(t) függvény Laplace-transzformáltja $ \mathcal{L} \left \{ f(t) \right \} = F(s) , akkor az $ f(t-\tau) Laplace-transzformáltja : $ \mathcal{L} \left \{ f(t-\tau) \right \} = F(s) e^{-s\tau}

Ezen tétel igazolásához is induljunk ki a Laplace-transzformáció definíciójából:
$ \mathcal{L} \left \{ f(t-\tau) \right \} = \int_0^{\infty}f(t-\tau)e^{-st}dt ,
és most vezessük be a következő új változót: $ \xi=t-\tau \quad \Rightarrow \quad t=\xi+\tau \\ \quad \quad dt=d\xi ,
és az új $ \xi -nek megfelelő integrálási határok: $ t:(0;\infty) \rightarrow \xi:(-\tau;\infty)

$ \mathcal{L} \left \{ f(t-\tau) \right \} = \int_0^{\infty}f(t-\tau)e^{-st}dt=\int_{-\tau}^{\infty}f(\xi)e^{-s(\xi+\tau)}d\xi =\int_{-\tau}^{\infty}f(\xi)e^{-s\xi}e^{-s\tau}d\xi= e^{-s\tau}\int_{-\tau}^{\infty}f(\xi)e^{-s\xi}d\xi

$ \mathcal{L} \left \{ f(t-\tau) \right \}= e^{-s\tau}F(s)

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…