A Központi Szelet Tétel és a Fourier inverziós képlet több dimenzióban

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Képrekonstrukció analitikus összefüggésekkel » A Központi Szelet Tétel és a Fourier inverziós képlet több dimenzióban

A Központi Szelet Tétel több dimenzióban, a kétdimenziós esettel teljesen analóg módon mondható ki több dimenzióban, a korábban bevezetett jelölésekkel. Legyen $$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}, t\in \mathbb{R} , \boldsymbol{\omega}\in \mathbb{S}^{n-1}$ . Az n dimenziós függvény Radon-transzformáltjának t szerinti Fourier-transzformáltja:
$$ \mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f\left ( t,\boldsymbol{\omega} \right ) \right ]\left ( r,\boldsymbol{\omega} \right )=\int_{-\infty }^{\infty }\mathfrak{R}f\left ( t,\vartheta \right )e^{-itr}dt=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( t\boldsymbol{\omega} +\mathbf{y} \right )e^{-itr}dtd\mathbf{y}$

Térjünk át $$\mathbf{x}=t\boldsymbol{\omega}+ \mathbf{y}$ szerinti integrálásra, mely a (t,y₁,y₂...,y_n-1) vektor elforgatottját jelenti, azaz Jacobi-determinánsa 1. Ekkor:
$$\mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f\left ( t,\boldsymbol{\omega} \right ) \right ]\left ( r,\boldsymbol{\omega} \right )=\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( \mathbf{x} \right )e^{-i\boldsymbol{\omega}\mathbf{x}r}d\mathbf{x}= \mathfrak{F}_{\mathbf{x}}\left [\mathfrak{R}f\left ( t,\boldsymbol{\omega} \right ) \right ]\left ( r\boldsymbol{\omega} \right )$
azaz multidimenzionális esetben is a t szerinti Fourier-transzformált a teljes n dimenziós térben értelmezett Fourier-transzformálttá teszi a Radon-transzformáltat n dimenziós polár-koordináta (n dimenziós henger-koordináta) reprezentációban.

A Fourier inverziós képlet n dimenziós formája

Végezzük el az inverz-Fourier-transzformálást, és helyettesítsük be a Központi Szelet tétel eredményét:
$$ f(\mathbf{x})=\left (\frac{1}{2\pi} \right )^{n-1}\int_{-\infty}^{\infty} \mathfrak{F}\left [ f \right ]\left ( \boldsymbol{\xi }\right )e^{i\mathbf{x} \boldsymbol{\xi }} d\boldsymbol{\xi } = \frac{1}{2}\left (\frac{1}{2\pi} \right )^{n-1}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathfrak{F}_{t}\mathfrak{R}f\left \left ( r\boldsymbol{\omega} )\left | r \right |^{n-1} e^{ir\mathbf{x} \boldsymbol{\omega }}dr d\boldsymbol{\omega }$
ahol áttértünk polár-koordinátákra. Az egyenlet két oldalának egyezőségéhez még szükséges magyarázat, hogy áttérünk az 'r szerinti integrál határainál a $$\left [ 0,\infty \right ]$ intervallumról a $$\left [ -\infty,\infty \right ]$ intervallumra, melyet egy kettes faktorral való osztással korrigáltunk, hiszen a Radon-transzformált r-ben szimmetrikus. Erre a lépésre alapvetően didaktikai szempontból van szükség, hogy a frekvenciatér origójában található szingularitás kezelhetővé, hangsúlyozhatóvá váljék. A frekvenciatérben lokálisan elvégzett manipulációk a tértartományban globálisan jelentkeznek (gondoljunk például egyetlen frekvenciakomponens hozzáadására), azaz egy nullmértékű szingularitás a tértartományban globálisan jelentkezik.

Akövetkező fejezetbenértelmezzük a fenti Fourier inverziós képletet.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

A Központi Szelet Tétel és a Fourier inverziós képlet több dimenzióban

A Fourier inverziós képlet n dimenziós formája

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English