A Központi Szelet Tétel

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Képrekonstrukció analitikus összefüggésekkel » A Központi Szelet Tétel

A Központi (/Fourier) Szelet Tétel

A Központi avagy Fourier Szelet Tétel (Central/Fourier Slice Theorem, projection-slice theorem, CST) a Fourier-alapú Radon-invertálási technika alapja. Továbbra is két dimenzióra korlátozva a tárgyalást ( $$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{2}, t\in \mathbb{R} , \boldsymbol{\omega}\in \mathbb{S}^{1}$ ) Vegyük egy f(x,y) függvény Radon-transzformáltjának Fourier-transzformáltját, de csak a t affin paraméter szerint, a kerek zárójelek az adott transzformálás utáni változókat jelölik:

$$ \mathfrak{F}_{t}\left [\mathfrak{R}f\left ( t,\vartheta \right ) \right ]\left ( r,\vartheta \right )=\int_{-\infty }^{\infty }\mathfrak{R}f\left ( t,\vartheta \right )e^{-itr}dt=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( t\boldsymbol{\omega} +s\boldsymbol{\omega}_{\perp } \right )e^{-itr}dtds$

Térjünk át x és y szerinti integrálásra:
$$ t=\boldsymbol{\omega}\textbf{x}=x\cos \left ( \vartheta \right )+y\sin \left ( \vartheta \right )$
$$ s=\boldsymbol{\omega_{\perp} }\textbf{x}=-x\sin \left ( \vartheta \right )+y\cos \left ( \vartheta \right )$
Természetesen a Jacobi-determináns 1:
$$ \begin{vmatrix} \partial_{x}t & \partial_{y}t\\ \partial_{x}s &\partial_{y}s \end{vmatrix}=\cos ^{2} \left ( \vartheta \right )+\sin ^{2} \left ( \vartheta \right )=1$
Ezzel:
$$ \int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( x,y \right )e^{-i\left ( x\cos \vartheta +y\sin \vartheta \right )r}dxdy=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f\left ( x,y \right )e^{-ix r\cos \vartheta }e^{-iry\sin \vartheta \right )}dxdy=\mathfrak{F}_{x,y}\left [ f \right ]\left ( r\cos \vartheta ,r\cos \vartheta \right )$

Az egyenlet jobb oldalán a Fourier-transzformált már kétdimenziós, és nem tartalmazza a Radon-transzformáltat, a frekvenciatér-beli változói pedig szintén kétdimenziósak és polár-koordinátákban adottak. A Radon transzformált affin t paraméterében történő 1D Fourier transzformált tehát megadja az eredeti függvényünk 2D Fourier-transzformáltját a $$ \left (\xi_{1} ,\xi_{2} \right )= \left (r\cos \vartheta ,r\sin \vartheta \right )$ . Ha tomográfiás készülékünk egyenletes lépésközzel dolgozik, a $$ $ \left(t,\boldsymbol{\omega} \right )$ változókban a Fourier-transzformált a következő pontokban vesz mintát:

Kézenfekvő volna fenti eredményünkkel rögtön az inverziós numerikus séma megalkotásához fognunk. Szinogramunkat t változója mentén (minden egyes szögre) 1D Fourier-transzformálnánk, majd a kapott 2D függvényt inverz Fourier-transzformálnánk két dimenzióban. Maga a Fourier-, és inverz Fourier-transzformálás több dimenzióban is bevett eljárásnak számít.

A Fourier-transzformált népszerűségének a jel- és képfeldolgozásban egyik alapvető oka a Gyors Fourier Transzformáció (Fast Fourier Transform, FFT) algoritmusának megjelenése.
Az FFT viszont alapesetben karteziánus rácsokra működik, jelen esetben viszont a 2D inverz Fourier-transzformáltunkhoz a bemenőadatokat polár-koordinátában kapjuk meg. A direkt Fourier-rekonstrukcióhoz át kell mintavételeznünk tehát a polár-koordinátás formát reguláris karteziánus rácsba.

Az direkt Fourier-rekonstrukció népszerűtlenségét az átmintavételezésben rejlő pontatlanság illetve egyenetlen információeloszlás okozza. A Központi Szelet Tétel tovább alakítható, hogy numerikusan stabilabb eredményt kapjunk, a levezetést a következő szakasz tartalmazza.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

A Központi Szelet Tétel

A Központi (/Fourier) Szelet Tétel

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English