A Hilbert-transzformált

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Integrálgeometria és Integráltranszformációk » A Hilbert-transzformált

A Hilbert-transzformált

Bár legfőképpen a jelfeldolgozásban használják, a tomográfiás képrekonstrukció kulcskérdésének megértéséhez számunkra is jelentőségteljes a Hilbert-transzformált. A $$ \mathfrak{H}$ Hilbert-transzformált definíciója:
$$\mathfrak{H}g\left (x \right )=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{g\left ( y\right )}{x-y}dy$

Bár a definíció egyszerűnek látszik, az integrál kiértékelése a nevező szingularitása miatt nehézkes. Az integrált tehát Cauchy-féle főértékben kell venni, azaz
$$ \mathfrak{H}g\left ( x \right )=\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty }^{t-\varepsilon }\frac{g\left ( y \right )}{x-y}dy+\int_{t+\varepsilon }^{\infty }\frac{g\left ( y \right )}{x-y}dy$
Egy ilyen határérték létezése azért könnyen elképzelhető, mert látható, hogy a g=1 függvényre az 1/x függvény főértékben vett integrálja létezik, páratlan volta miatt ugyanis 0 eredményt ad, hiszen az integrálási tartomány szimmetrikus.

Megkönnyítendő az integrál kiértékelését,

vegyük észre, hogy a Hilbert-transzformált konvolúció az 1/x függvénnyel
Fourier-transzformáljuk, majd inverz Fourier-transzformáljuk a képletet

$$\mathfrak{H}g\left ( x \right )=g\left ( x \right )*\frac{1}{\pi x}=\mathfrak{F}^{^{-1}}\mathfrak{F}\left \{ g\left ( x \right )*\frac{1}{\pi x} \right \}=\mathfrak{F}^{^{-1}}\left \{ \mathfrak{F}\left [ g\left ( x \right ) \right ] \mathfrak{F}\left [ \frac{1}{\pi x} \right]\right \}$
Értékeljük ki 1/x Fourier-transzformáltját:
$$\mathfrak{F}\left [ \frac{1}{x} \right ]=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{-i k x}}{x}dx=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos( kx)-i\sin\left ( kx \right )}{x}dx$

A cos páros függvény, leosztva a páratlan x függvénnyel az első tag eltűnik. Marad tehát a következő két tag:
$$ -\frac{2i}{\pi}\int_{0}^{\infty }\frac{\sin\left ( kx \right )}{x}dx \mid k< 0$
és
$$ \frac{2i}{\pi}\int_{0}^{\infty }\frac{\sin\left ( kx \right )}{x}dx \mid k>0$

Mivel
$$ \int_{0}^{\infty }\frac{\sin\left ( kx \right )}{x}dx=\int_{0 }^{\infty }sinc\left ( kz \right )}dz=\frac{\pi}{2}$

A végeredmény tehát:

$$\mathfrak{F}\left [ \frac{1}{x} \right ]=i sgn(k)$
ahol sgn az előjelfüggvény.
$$\mathfrak{H}g\left ( x \right )=\mathfrak{F}^{^{-1}}\left \{ \mathfrak{F}\left [ g\left ( x \right ) \right ] i sgn(k)\right \}$

Ez az eredmény numerikus kiszámítási technikáját tekintve jelentősen egyszerűbb, mint az alapdefiníció alkalmazása, hiszen a digitális Fourier-transzformáció, és annak megvalósítási módja (FFT) sztenderden alkalmazott, elérhető és gyors eljárás.

Eredményünkből az is látható, hogy ha ugyanarra a függvényre hattatjuk a Hilbert-transzformációt kétszer egymás után:
$$\mathfrak{H}\mathfrak{H}g\left ( x \right )=\mathfrak{F}^{^{-1}}\left [\left \mathfrak{F}[\mathfrak{F}^{^{-1}}\left \{ \mathfrak{F}\left [ g\left ( x \right ) \right ] i sgn(k)\right \} \right ]i sgn(k) \right ]=-g\left ( x \right )$

azaz a Hilbert-transzformáció inverze egy előjeltől eltekintve önmaga.

Illusztrációként elkészítettük egy kép 2D Hilbert-transzformációját:

Export

Medical Imaging

Site Language: English

A Hilbert-transzformált

A Hilbert-transzformált

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English