A Fourier-sor származtatása
E kiegészítésben a periodikus függvények függvény sor szerinti származtatását mutatjuk be. Ehhez lépjünk vissza egy gondolat erejéig a folytonos függvények analíziséhez. Tekintsük az alábbi [a;b] intervallumban értelmezett, folytonosan deriválható függvények halmazát.
Tekintsük továbbá ugyanezen [a;b] intervallumban értelmezett és akárhányszor folytonosan deriválható f(t) függvényt. A kérdés az, hogy f(t) előállítható-e az alábbi végtelen sor formában:
ahol
Az ismert, hogy egy [a;b] intervallumban értelmezett és akárhányszor folytonosan deriválható függvény
hatványsor alakjában megadható - ahol jelen esetben
-,
ahol a Taylor-együtthatók
így
A következőkben vizsgáljuk meg az periodikus függvények esetét
, ahol
T ͼ R a függvény periódusa és k=1,2, .....n,.. természetes szám.
Kíséreljük meg az periodikus függvényt előállítani harmonikus függvények szuperpozíciójaként, azaz
ahol
természetes szám és
periódusnak
megfelelő alap harmonikus függvényt tekintsük.
Alkalmazzuk a harmonikus függvénysorra a trigonometrikus kifejezésekre az addiciós tételeket!
Vezessük be a következő jelölést ,
Így , amelynek jelentése, hogy az
periodikus függvényt véges harmonikus – trigonometrikus – sorral közelítettük.
Az eddig elmondottak az alábbi problémákat vetik fel:
- Található-e f(t) számára sorfejtés, azaz egy periodikus f(t) függvény előállítható-e harmonikus függvények superpozícióként?
- Az f(t) függvény véges, vagy végtelen trigonometrikus sorral állítható-e elő?
- Ha található ilyen véges vagy végtelen harmonikus sor, akkor a sor együtthatói
miként határozhatók meg?
Mivel harmonikus függvények szuperpozícióként kíséreljük meg az f(t) periodikus függvényt előállítani a következő kiindulást választjuk:
Legyenek az
az függvényekkel azonosak.
A matematikai felvetés, hogy függvénysorral előállítható-e a periodikus függvény. Mivel a sorfejtést harmonikus függvénysor alapján keressük, ezért legyen
2\pi szerint periodikus, azaz
( a harmonikus – trigonometrikes – sor tagjaira is a
szerinti periodicitás érvényes ). Tegyük fel továbbá, hogy a periodikus
függvényt meghatározó trigonometrikus sor egyenletesen konvergens a [-∞;∞] intervallumban.
Az kifejezés mindkét oldalát szorozzuk meg
-vel és
-vel az alábbi szerint:
Mivel a harmonikus sor egyenletesen konvergens és , ill.
, így a
-vel ill. a
-vel való szorzás következtében az egyenletes konvergencia továbbra is fennáll. Az egyenletes konvergencia következtében a függvénysor elemei az [a; a+2\pi] intervallumban tagonként integrálhatók:
, ahol , ill.
a harmonikus függvények egy periódusára eső integrál végett.
A két integrál végtelen sorral történő kifejezése az alábbiak szerint módosul:
Ezt követően a mögötti integrálok analízisét kell elvégezni a trigonometrikus addiciós tételek alapján
,
Mivel az integrálon belül a , ill.
szerepel, ahol m=n-k, ill. q=n+k, amelyek
szerint periodikusak. Így a periódusra vett integrálok 0 értéket adnak a fentiekben történt hivatkozással összhangban.
Teljesen hasonló eljárást követően:
Ezt követően a és
integráltagok kifejtését végezzük el. Ezt két lépésben tesszük meg. Elsőként azt vizsgáljuk meg, amikor n≠k.
A fentebb elmondottakból mindez következik.
Most azt az esetet vizsgáljuk meg, amikor n=k
Ekkor:
és
Az integrálok eredményei:
Ha tehát egy függvény periodikus és egyenletesen konvergens, akkor az alábbi harmonikus, trigonometrikus sorba fejthető:
, ahol az együtthatók az , ill.
összefüggésekkel határozhatók meg.
A0 konstans tag az alábbi módon származtatható:
Így , ill.
Vissza a 'Nevezetes bemenő függvények' című fejezethez