Loading...
 
PDF Print

A Fourier-sor származtatása

E kiegészítésben a periodikus függvények függvény sor szerinti származtatását mutatjuk be. Ehhez lépjünk vissza egy gondolat erejéig a folytonos függvények analíziséhez. Tekintsük az alábbi [a;b] intervallumban értelmezett, folytonosan deriválható f_1(t); f_2(t); f_3(t); ... f_n(t)...; függvények halmazát.

Tekintsük továbbá ugyanezen [a;b] intervallumban értelmezett és akárhányszor folytonosan deriválható f(t) függvényt. A kérdés az, hogy f(t) előállítható-e az alábbi végtelen sor formában:
f(t) = c_1 f_1(t)+c_2 f_2(t)+c_3 f_3(t) +...+c_n f_n(t)... = \sum\limits_{k = 1}^\infty c_k f_k(t) ahol c_k \in R

Az ismert, hogy egy [a;b] intervallumban értelmezett és akárhányszor folytonosan deriválható f(t) függvény f(t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty c_k(t-\tau)^k hatványsor alakjában megadható - ahol jelen esetben f(t)_k=(t-\tau)^k-,
ahol c_k a Taylor-együtthatók
c_k = \frac{\frac{df}{dt}}{k!} \Big|_{t=\tau} = \frac{f^{(k)}(t) }{k!}
így f(t) = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{f^{(k)} (t)}{k!} c_k(t-\tau)^k

A következőkben vizsgáljuk meg az f(t) periodikus függvények esetét f(t)=f(t+kT), ahol T \in RT ͼ R a függvény periódusa és k=1,2, .....n,.. természetes szám.
Kíséreljük meg az f(t) periodikus függvényt előállítani harmonikus függvények szuperpozíciójaként, azaz
f(t) = \sum\limits_{k=1}^n A_k sin(p_k\omega t +\phi_k) \Big|_{\omega = 1}
 = \sum\limits_{k=1}^n A_k sin(p_k t +\phi_k) ahol p_k=1,2,3, .....n; természetes szám és \omega = 1 periódusnak
megfelelő alap harmonikus függvényt tekintsük.
Alkalmazzuk a harmonikus függvénysorra a trigonometrikus kifejezésekre az addiciós tételeket!
f(t) = \sum\limits_{k=1}^n A_k sin(p_k t +\phi_k)  = \sum\limits_{k=1}^n A_k [sin(p_k t)cos(\phi_k) + cos(p_k t)sin(\phi_k)] = 

= \sum\limits_{k=1}^n [ (A_k cos(\phi_k)) sin(p_k t)+(A_k sin(\phi_k)) cos(p_k t) ]
Vezessük be a következő jelölést a_k = A_k sin(\phi_k), b_k = A_k cos(\phi_k)
Így f(t) = \sum\limits_{k=1}^n [a_k sin(p_k t) + b_k cos(p_kt)], amelynek jelentése, hogy az f(t) periodikus függvényt véges harmonikus – trigonometrikus – sorral közelítettük.

Az eddig elmondottak az alábbi problémákat vetik fel:

  1. Található-e f(t) számára sorfejtés, azaz egy periodikus f(t) függvény előállítható-e harmonikus függvények superpozícióként?
  2. Az f(t) függvény véges, vagy végtelen trigonometrikus sorral állítható-e elő?
  3. Ha található ilyen véges vagy végtelen harmonikus sor, akkor a sor együtthatói (a_k;b_k) miként határozhatók meg?

Mivel harmonikus függvények szuperpozícióként kíséreljük meg az f(t) periodikus függvényt előállítani a következő kiindulást választjuk:
Legyenek az f_1(t);    f_2(t);      f_3(t);       f_4(t);         f_5(t);    ...;    f_k(t);        f_{k+1(t)};
az 1;     sin(t);   cos(t);   sin(2t);    cos(2t); ...;  sin(kt);    cos(kt); függvényekkel azonosak.

A matematikai felvetés, hogy f(t)= A_0 + \sum\limits_{k=1}^\infty [a_k cos(kt) + b_k sin(kt)] függvénysorral előállítható-e a periodikus függvény. Mivel a sorfejtést harmonikus függvénysor alapján keressük, ezért legyen f(t) 2\pi szerint periodikus, azaz f(t)=f(t+2k\pi) ( a harmonikus – trigonometrikes – sor tagjaira is a 2\pi szerinti periodicitás érvényes ). Tegyük fel továbbá, hogy a periodikusf(t) függvényt meghatározó trigonometrikus sor egyenletesen konvergens a [-∞;∞] intervallumban.
Az f(t)= A_0 + \sum\limits_{k=1}^\infty [a_k cos(kt) + b_k sin(kt)] kifejezés mindkét oldalát szorozzuk meg cos(nt)-vel és sin(nt)-vel az alábbi szerint:
f(t)cos(nt)= A_0 cos(nt) + \sum\limits_{k=1}^\infty [a_k cos(kt)cos(nt) + b_k sin(kt)cos(nt)]
f(t)sin(nt)= A_0 sin(nt) + \sum\limits_{k=1}^\infty [a_k cos(kt)sin(nt) + b_k sin(kt)sin(nt)]
Mivel a harmonikus sor egyenletesen konvergens és |cos(nt)| \leq 1, ill. |sin(nt)| \leq 1 , így a cos(nt)-vel ill. a sin(nt)-vel való szorzás következtében az egyenletes konvergencia továbbra is fennáll. Az egyenletes konvergencia következtében a függvénysor elemei az [a; a+2\pi] intervallumban tagonként integrálhatók:
\int\limits_a^{a+2\pi}  f(t)cos(nt)= A_0 \int\limits_a^{a+2\pi} cos(nt) + \sum\limits_{k=1}^\infty \int\limits_a^{a+2\pi}  [a_k cos(kt)cos(nt) + b_k sin(kt)cos(nt)]
\int\limits_a^{a+2\pi} f(t)sin(nt)= A_0 \int\limits_a^{a+2\pi} sin(nt) + \sum\limits_{k=1}^\infty \int\limits_a^{a+2\pi} [a_k cos(kt)sin(nt) + b_k sin(kt)sin(nt)]
, ahol A_0 \int\limits_a^{a+2\pi} sin(nt)dt=0, ill. A_0 \int\limits_a^{a+2\pi} cos(nt)dt=0 a harmonikus függvények egy periódusára eső integrál végett.
A két integrál végtelen sorral történő kifejezése az alábbiak szerint módosul:
\int\limits_a^{a+2\pi} f(t)cos(nt)dt= \sum\limits_{k=1}^\infty { \int\limits_a^{a+2\pi}[a_k cos(kt)cos(nt) + b_k sin(kt)cos(nt)]dt}
\int\limits_a^{a+2\pi} f(t)sin(nt)dt= \sum\limits_{k=1}^\infty { \int\limits_a^{a+2\pi}[a_k cos(kt)sin(nt) + b_k sin(kt)sin(nt)]dt}
Ezt követően a \sum mögötti integrálok analízisét kell elvégezni a trigonometrikus addiciós tételek alapján
\int\limits_a^{a+2\pi} a_k cos(kt)sin(nt)dt = (a_k/2)  \int\limits_a^{a+2\pi} [sin(n-k)t + sin(n+k)t]dt =

(a_k/2) \int\limits_a^{a+2\pi} sin(n-k)tdt + (a_k/2) \int\limits_a^{a+2\pi} sin(n+k)tdt=0,
Mivel az integrálon belül a sin(mt), ill. sin(qt) szerepel, ahol m=n-k, ill. q=n+k, amelyek 2\pi szerint periodikusak. Így a periódusra vett integrálok 0 értéket adnak a fentiekben történt hivatkozással összhangban.
Teljesen hasonló eljárást követően: \int\limits_a^{a+2\pi} b_k sin(kt)cos(nt)dt=0

Ezt követően a \int\limits_a^{a+2\pi} a_k cos(kt)cos(nt)dt és \int\limits_a^{a+2\pi} b_k sin(kt)sin(nt)dt integráltagok kifejtését végezzük el. Ezt két lépésben tesszük meg. Elsőként azt vizsgáljuk meg, amikor n≠k.
\int\limits_a^{a+2\pi} a_k cos(kt)cos(nt)dt = (a_k/2) \int\limits_a^{a+2\pi}[cos(k+n)t + cos(k-n)t]dt =

= (a_k/2) \int\limits_a^{a+2\pi} cos(k+n)tdt + (a_k/2) \int\limits_a^{a+2\pi} cos(k-n)tdt = 0
\int\limits_a^{a+2\pi} b_k sin(kt)sin(nt)dt = (b_k/2) \int\limits_a^{a+2\pi} [cos(k+n)t - cos(k-n)t]dt =

=  (b_k/2) \int\limits_a^{a+2\pi} cos(k+n)tdt - (b_k/2) \int\limits_a^{a+2\pi} cos(k-n)tdt = 0
A fentebb elmondottakból mindez következik.

Most azt az esetet vizsgáljuk meg, amikor n=k
Ekkor:
\int\limits_a^{a+2\pi} a_k cos(kt)cos(nt)dt  =  a_n \int\limits_a^{a+2\pi} cos(nt)cos(nt)dt = a_n \int\limits_a^{a+2\pi} cos^2(nt)dt =

= a_n \int\limits_a^{a+2\pi} (1+cos2nt)/2 dt = a_n \pi
és \int\limits_a^{a+2\pi} b_k sin(kt)sin(nt)dt = b_n \int\limits_a^{a+2\pi} sin(nt)sin(nt)dt = b_n \int\limits_a^{a+2\pi} sin^2(nt)dt = 

= b_n \int\limits_a^{a+2\pi} (1-cos2nt)/2 dt = b_n \pi
Az integrálok eredményei:
\int\limits_a^{a+2\pi} f(t)cos(nt)dt=\sum\limits_{k=1}^\infty { \int\limits_a^{a+2\pi} [a_k cos(kt)cos(nt) + b_k sin(kt)cos(nt)]dt}= a_n \pi \rightarrow

a_n = 1/\pi  \int\limits_a^{a+2\pi} f(t)cos(nt)dt
\int\limits_a^{a+2\pi} f(t)sin(nt)dt= { \int\limits_a^{a+2\pi} [a_k cos(kt)sin(nt) + b_k sin(kt)sin(nt)]dt}= b_n \pi \rightarrow 

b_n =1/\pi \int\limits_a^{a+2\pi} f(t)sin(nt)dt

Ha tehát egy f(t)=f(t+nT) függvény periodikus és egyenletesen konvergens, akkor az alábbi harmonikus, trigonometrikus sorba fejthető:
f(t)= A_0 + \sum\limits_{k=1}^\infty [a_k cos(kt) + b_k sin(kt)]
, ahol az együtthatók az a_n = 1/\pi \int\limits_a^{a+2\pi} f(t)cos(nt)dt, ill. b_n =1/\pi \int\limits_a^{a+2\pi} f(t)sin(nt)dt összefüggésekkel határozhatók meg.

A0 konstans tag az alábbi módon származtatható: f(t)= A_0 + \sum\limits_{k = 1}^\infty  [a_k cos(kt)+b_k sin(kt)]=  \sum\limits_{k = 0}^\infty [a_k cos(kt)+b_k sin(kt)]
Így a_0 = 1/\pi \int\limits_a^{a+2\pi} f(t)cos(nt) \Big|_{n=0} dt =1/ \pi \int\limits_a^{a+2\pi} f(t)dt = A_0 , ill. b_0 =1/\pi \int\limits_a^{a+2\pi} f(t)sin(nt) \Big|_{n=0} dt = 0

Vissza a 'Nevezetes bemenő függvények' című fejezethez


Site Language: English

Log in as…