A 3D emissziós képrögzítés alapjai

Tankönyv Fizikusoknak » Nukleáris medicina fizikusoknak » SPECT képalkotás » A 3D emissziós képrögzítés alapjai

A valóságos klinikai gyakorlatban egy vizsgált szerven belül (mint pl. agy, máj, szív...) nemcsak funkcionális defektusokat kell detektálni, hanem azok szerven belüli térbeli helyzetüket és méretüket. A feladat tehát nem más mint a vizsgálandó szerv mint térbeli γ-sugárzó objektum 3-D leképezésének megvalósítása. Ennek technikai megoldása az orvosdiagnosztika legkorszerűbb vizsgáló eljárás alapelvén az un. számítógépes tomográfián (Computer Tomography) alapul. A 3-D rögzítendő γ-sugárzó tárgyról - amely a páciens valamely vizsgálandó testrésze - különböző irányokból 2-D emissziós vetületi képeket (szcintigramokat) készítünk, és rögzítünk (1. ábra).

1. ábra

Ezen vetületi képekből álló adathalmaz a három dimenziós képalkotás kiinduló pontja. A megfelelő számú - szögű - vetületi képek halmazából az ún. rekonstrukciós algoritmussal a forgástengelyre merőleges síkra (transverse plane) keresztmetszeti képek állíthatók elő. A rekonstrukciós eljárás tisztán matematikai modelleken keresztül matematikai problémaként kezelhető. Tekintsük ehhez a 2. ábrán látható modellt, ahol az (x,y,z) koordináta rendszerben z=f(x,y) kétváltozás függvénnyel leírt térbeli alakzat egy v szögű vetülete látható.

2. ábra

A g(s,v) mint az f(x,y) v szögű vetületi függvénye, az f(x,y) függvény v szögű egyenesek menti vonalintegráljaként áll elő. [3], [4]

$$ g\left( s,v \right)=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f\left( x,y \right)du=}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F\left( s\ \cos v-u\ \sin v,s\ \sin v+u\ \cos v \right)du}$ (1)

ahol a koordináta transzformáció végett:

$$ x=s\ \cos v-u\ \sin v\,\,\,\left( s=x\ \cos v+y\ \sin v \right) \\$

$$ y=s\ \sin v+u\ \cos v\,\,\,\left( s=y\ \cos v-x\ \sin v \right) \\$

$$ -\infty <s<\infty ;\,\,\,0\le v<\pi \\$

Tisztán matematikai modell alapján egy térbeli alakzatot leíró függvény vetítés és visszavetítés kérdésköre röviden eképp foglalható össze.
Legyen f(x,y) a valós számpárok halmazán értelmezett függvény, melynek Radon transzformáltja az ℜf(s,v) a 0≤v<π intervallumon értelmezett függvény, melyre teljesül:

$$ [\mathfrak{Rf}](s,v) = \mathfrak{R}\{f(x,y) \} = \int\limits^\infty_{-\infty }f(x,y) du \\$

, ahol s és u az (1)-ben megadott „v” szöggel elforgatott koordináta-rendszer változóit jelöli.
Szemléletesen a Radon transzformáció az f(x,y) függvényhez annak vetületeit rendeli hozzá. A különböző térbeli leképező rendszerek - SPECT, PET, CT - különböző geometriákban e transzformációval modellezhető vetítési eljárást valósítanak meg.
Következésképp a rekonstrukciós probléma pusztán matematikai oldalról az alábbiak szerint fogalmazható meg:

Az $$[\mathfrak{Rf}](s,v)$ függvény ismeretében állítsuk elő - azaz rekonstruáljuk – azt a z=f(x,y) függvényt, amelynek v szögű vetülete a 0≤v< $\pi$ intervallumon épp a $$[\mathfrak{Rf}](s,v)$ függvény.

Keresendő tehát a Radon transzformáció adjungált transzformáltja, mely az $$[\mathfrak{Rf}](s,v)$ függvényt, amely a $\ -\infty$ <s< $\ \infty$ ; 0≤v< $\ \pi$ halmazon értelmezett átviszi a $\ -\infty$ <x< $\ \infty$ ; $\ -\infty$ <y< $\ \infty$ ; halmazon értelmezett függvénybe

$$ \mathfrak{B}\{ g(s,v) \} = \int\limits_0^\pi \int\limits_{-\infty}^{\infty} [\mathfrak{Rf}](s,v) g(s,v) ds dv = \int\limits_0^\pi \left( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s \ cos v-u \ sin v, s \ sin v + u \ cos v) du g(s,v)ds\right) dv$

Térjünk át az (s, u) koordinátákról a (x, y) koordinátákra és cseréljük fel az integrálás sorrenjét az alábbiak szerint:

$$ \mathfrak{B}\{ g(s,v) \} = \int\limits_0^\pi \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) g(x \ cos v+y \ sin v, v) dvdxdy = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \left( \int\limits_0^\pi g(x \ cos v+y \ sin v, v) dv\right) dxdy$

$$ \mathfrak{B}\{ g(s,v) \} = [\mathfrak{B}g](x,y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \left( \int\limits_0^\pi g(x \ cos v+y \sin v, v) dv\right) dxdy$

$$ \mathfrak{B}\{ g(x,y) \} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dxdy \int\limits_{0}^{\pi} g(x \cdot cosv+y \cdot sinv,v)dv = BPI \int\limits_{0}^{\pi} g(x \cdot cosv+y \cdot sinv,v)dv$

E formalizmusból kiolvasható, hogy az $\mathfrak{R}$ transzformáció adjungáltja a 0≤v<π halmazon értelmezett g(s,v) függvényt a valós számpár halmazon értelmezett $[\mathfrak{B}g](x,y)$ függvénybe viszi át

$$ [\mathfrak{B}g](x,y) = \mathfrak{B} \{ g(s,v) \}=BPI \int\limits_{0}^{\pi} g(x \cdot cosv+y \cdot sinv,v)dv$ (2)

, ahol (2) formulában $BPI = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dxdy$$ (3)
A (2)-ben az adjungált Radon transzformáció által kapott függvény jelentése nem más mint az egyes v szögekhez tartozó g(s,v) függvénynek az

$$ s=x\cos v+y\sin v$

egyenesek mentén való visszavetítéseinek szuperponáltja. A ℬ transzformációt visszavetítési transzformációnak, másként LSBP-nek (Linear Superposition of BackProjection) nevezzük.
A 3. ábra egy egyszerű g(s,v) lépcsőfüggvény visszavetítését illusztrálja három szöghelyzetre vonatkozóan. Azt kísérli megmutatni, miként működik az LSBP egy ilyen egyszerű vetületi kép esetén. [3]

3. ábra

A 4. ábra egy pontforrást mint három dimenziós tárgyat szemléltet, ahogy a visszavetítés eredményét mutatja 3 szögben és ennél lényegesen több szögben történő LSBP eredményeként.

4. ábra

Az leolvasható az ábráról, hogy a nézetek számának növelésével az LSBP javítja a tomográf hatást, de a képelmosódást egy bizonyos szint alá nem lehet csökkenteni. Még végtelen számú nézet esetén is a kép elmosódott lesz. Ezt a képpont elmosódási jelenséget a rendszer pont válasz függvényével - PSF - (lásd 3.3.1. fejezet) lehet jól jellemezni. Az elmosódás mértéke 1/r-el arányos, ahol r a ponforrástól mért távolság (5. ábra). [2] [3]

5. ábra

A kép elmosódás matematikailag az alábbi módon írható le. [2], [3], [4]

$$ [\mathfrak{B}g](x,y)\{ I \} = RI *(1/r)$ (3)

ahol a * a konvolució műveletét jelenti, {I} a visszavetítendő vetületi - 2D - képhalmaz, RI, pedig a valós elmosódásmentes rekonstruált objektumot testesíti meg.
Az elkövetkezőkben formális matematikai műveletek sorozatán keresztül mutatjuk be, hogyan lehet a $[\mathfrak{B}g](x,y)\{ I \}$ képből a valós RI elmosódásmentes rekonstruált képet a legjobban megközelíteni a rendszerre jellemző képelmosódási faktor figyelembe vételével.
Vegyük a (3) egyenlet mindkét oldalának Fourier transzformáltját!
$$ \mathfrak{F} \{ [\mathfrak{B}g](x,y)\{ I \} \} = \mathfrak{F} \{ RI *(1/r) \}$
$$ \mathfrak{F} \{ [\mathfrak{B}g](x,y)\{ I \} \} = \mathfrak{F} \{ RI \} \mathfrak{F} \{ (1/r) \}$\\$ /a konvolúció műveleti szabálya végett/
$$ \mathfrak{F} \{ RI \} = \mathfrak{F} \{ [\mathfrak{B}g](x,y)\{ I \} \} \mathfrak{F} \{ (1/r) \}$
Az 1/r képelmosódásra jellemző faktor Fourier transzformáltja nem más mint a térfrekvencia.
$$ \mathfrak{F} \{ (1/r) \} = 1/\Omega$
így $$\mathfrak{F} \{ RI \} = \Omega \ \mathfrak{F} \{ [\mathfrak{B}g](x,y)\{ I \} \}$ (4)::
A (4) mindkét oldalát Inverz Fourier transzformálva kapjuk meg a valós képet a térbeli koordináta halmazon:
$$ RI = \mathfrak{F^{-1}}\{ \Omega \} * [\mathfrak{B}g](x,y)\{ I \} = h * [\mathfrak{B}g](x,y)\{ I \}$ (5)::
ahol a $\mathfrak{F^{-1}}\{ \Omega \} = h$ konvoluciós tagot szűrőtényezőnek nevezzük.
Akár a (4), akár az (5) szerinti eljárást alkalmazzuk a képelmosódás hatása nagy mértékben csökkenthető a jelenlévő zajszint és torzítások mértékétől függően. A (4) és (5) formula által leírt kép rekonstrukciós módszert LSFBP-nek (Linear Superposition of Filtered BackProjection) nevezzük.
A SPECT technikában jelenleg az LSFBP képrekonstrukciós módszer a legelterjedtebb és referencia is egyben. A szűrőfüggvény jó megválasztásával és paraméterezésével igen sokat lehet javítani a végső rekonstruált kép minőségén figyelembe véve a teljes rendszer és adatfelviteli technika által termelt eredő zajokat, és torzításokat. Külön kutatási és fejlesztési munkát jelent még napjainkban is egy adott SPECT rendszerre optimálizált, szervorientált szűrési eljárások, algoritmusok kidolgozása, megalkotása.

Minden végleges szűrőfüggvénynek tartalmaznia kell az ideális esethez tartozó legegyszerűbb szűrőfüggvényt, amely csak a PSF elmosódást veszi figyelembe az ún. RAMP FILTER komponenst, amelynek frekvencia menete a 6. ábrán látható. A 7. ábra egy pontszerű aktivitás 3-D térbeli leképezését, valamint annak rekonstrukcióját mutatja az LSBP és LSFBP algoritmusokon keresztül ideális - RAMP FILTER - szűrőfüggvény választással.

$$ FINAL\_ Filt[\Omega] = RAMP \_ Filt[\Omega] \{ USR\_ APOD \_ Filt[\Omega ] \}$ (6)

Pontszerű aktivitás - megközelítőleg Dirac Delta $\delta(\vec{r})$ -esetén $$ USR\_ APOD \_ Filt[\Omega ] = 1$ (7)

6. ábra (lásd részletesebb interpretálást a 2.6.6 “Feladatok (8)” és a 2.6.9. “Függelék” 2.6.9.2.8 S8 Megoldások fejezetekben)

7. ábra

Az alábbi mozgó ábrák (8., 9., 10. ábrák) azt illusztrálják, hogyan is működik az LSFBP egy konkrét mért objektum esetén (SPECT leképezés). Megmutatjuk mind a leképezés eredményét, azaz a 2D vetületi képhalmazt, mind a rekonstrukció folyamatát.


Test iframe

8. ábra Tc99m-HMPAO jelzett agyi SPECT 2D vetületi képei. A SPECT leképezés párhuzamos ET collimátorral történt 6°- lépésközzel (60vetületi képpel) 64x64-es mátrixban. A “pirosal” jelzett görbe az LSFBP-ben alkalmazott eredő szűrő függvény frekvencia menete (az alkalmazott aluláteresztő szűrő és a RAMP szűrő konvolúciója). A “fehér” görbe ugyanezen eredő szűrőfüggvény valós térbeli menete.


Test iframe 9. ábra Az LSFBP Rekonstrució folyamat	10. ábra. Optimalizált display ablak kijelzéssel a rekonstrukció eredménye

Végül néhány tipikus SPECT vizsgálat komplett feldolgozott eredményét mutatjuk be a
11., 12., 13. ábrákon.

11. ábra

12. ábra

13. ábra

A 11. ábrán egy agy terheléses+nyugalmi vizsgálat eredménye látható mind a három fő metsze8ti irányból (transverse, frontal, sagittal). A 12. árbán egy terheléses+nyugalmi szívizom SPECT vizsgálat (²⁰¹Tl) eredménye látható a szívre vonatkozó három fő irányra (rövid tengely, horizontális tengely, vertikális tengely). A 13. ábra egy EKG kapuzott szív “blood-pool” (lásd. 4.1, 4.3.5, 4.3.6, 4.4.6 fejezetek) SPECT vizsgálat funkcionális parametrikus képét jeleníti meg 3-D, azaz multi-dimenziós formában. Érdekesség, hogy ez a megjelenítés 5 dimenziós információt tartalmaz - a három helykoordináta, a fázis kép és az amplitudó kép -.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

A 3D emissziós képrögzítés alapjai

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English