Átviteli karakterisztika

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Laplace-transzformáció » Átviteli karakterisztika

Definíció: Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvényének $$ s=j\omega$ értelmezését átviteli karakterisztikának nevezzük.
$$ W(j\omega)=W(s)|_{s=j\omega}$

A definícióból következően az átviteli karakterisztika a Fourier-transzformáció alapján származtatható, hisz ismert a Laplace- és a Fourier-transzformáció közötti kapcsolat
$$ \mathcal{L} \left \{ f(t) \right \}\big{|}_{s=j\omega}= \mathfrak{F} \left \{ f(t) \right \} \right$

Az átviteli karakterisztika tehát a Fourier-transzformáció alapján eképp írható fel:
$$W(j\omega) = \frac{\mathfrak{F}\{y(t)\}}{\mathfrak{F}\{f(t)\}} = \frac{Y(j\omega)}{F(j\omega)}$

Az átviteli karakterisztika is egy rendszerjellemző függvény, mely a teljes frekvencia tartományra vonatkozóan adja meg egy rendszer válaszát:
$$ Y(j\omega) = W(j\omega)F(j\omega)$

$$ y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} W(j\omega)F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$

Ezen integrál alapján egy rendszer kimenő válaszának megadása nem egy egyszerű feladatnak tűnik. Célszerűnek látszik más módszerek eszközök bevezetése ahhoz, hogy a rendszer a teljes frekvencia tartományban jellemezhető legyen. Kiindulásként térjünk vissza a 31. ábrán látható W(s) átviteli függvény alapdefiníciójához:
$$ W(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}$

$ Y(s) = W(s) F(s)

A lineáris rendszerünk gerjesztése $$ f(t) = \delta(t)$ impulzussal történjék:
Így $$ F(s) = \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$ , azaz $ W(s) = Y(s) , melynek olvasata, hogy a rendszerválasz-függvény megegyezik, az átviteli függvénnyel.
Mindez a valós paraméter térre vetítve:
$$ w(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} \text{, ha }f(t) = \delta(t)$

Tehát, ha egy lineáris koncentrált paraméterű rendszert Dirac-impulzussal gerjesztünk, akkor megkapjuk a valós paramétertérben az átviteli függvényt, melyet impulzus válasz függvénynek, vagy a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. Mindezekből levonható az a következtetés, hogy egy ismeretlen belső struktúrájú -fekete doboznak tekinthető- rendszert, mely feltételezhető lineáris invariáns koncentrált paraméterű modellel írható le, Dirac-impulzussal gerjesztve előállítható a rendszer súlyfüggvénye , a w(t). A súlyfüggvény Laplace-transzformáltja adja meg egy adott rendszer átviteli függvényét, mely leírja egy rendszer tulajdonságát a kiterjesztett frekvencia tartományban.
Egy rendszer súlyfüggvényének ismeretében egy általános
$$ f(t) = \left\{\begin{matrix} \varphi(t), &\text{ ha } &0\leq t \\ 0, &\text{ ha } & t<0 \end{matrix}\right.$

belépő függvényre adott kimeneti válasz eképp adható meg:
$ Y(s) = W(s)F(s)

$$ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{W(s)F(s)\} = \int_{0}^{t}f(\tau)w(t-\tau)d\tau = f(t)\ast w(t),$
amely nem más, mint a bemenő függvény és a súlyfüggvény konvolúciója. Abban az esetben, ha a lineáris invariáns rendszer súlyfüggvénye ismert és a bemenő függvény nem belépő függvény, de $$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty$ , akkor a rendszer által adott válaszfüggvény:
$$ y(t) = \int_{-\infty}^{t}f(\tau)w(t-\tau)d\tau$

(Lásd a levezetést a függelékben: Válasz függvény megadása)

Egy rendszer súlyfüggvényének ismeretében a rendszer frekvencia átviteli karakterisztikája a súlyfüggvény Fourier-transzformáltjából származtatható:
$$ W(j\omega) = \mathfrak{F}\{w(t)\}$

A képalkotó eljárások területére fordítva a gondolatmenetet igen fontos szerepe van a most kapott leírási módnak. Egy 2D leképző eljárás, rendszer esetén a rendszer kontrasztátviteli függvénye, felbontóképessége és a frekvenciatérben történő zajeliminációs eljárások alkalmazása során igen gyakran használatos a kapott módszer alkalmazása. Ugyanis egy 2D leképző rendszer esetén (melynél feltételezhető, hogy lineáris és stacionárius) a valós térbeli pontválasz függvény (PSF, Point Spread Function) meghatározása alapján jellemezhető a 2D leképző rendszer impulzus válasza, melyet a korábbiakban a 18. ábrán már megmutattuk. A mért PSF Fourier-transzformáltja adja meg egy leképző rendszer teljes frekvencia tartománybeli viselkedését.
$$ MTF = \mathfrak{F}\{PSF\}$ , ahol a leképző rendszerek esetén az átviteli karakterisztika jelölésére az MTF-et (Modulation Transfer Function) szokás alkalmazni.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Átviteli karakterisztika

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English