Átviteli függvény

Tankönyv Fizikusoknak » Az orvosi képalkotás matematikai alapjai » Lineáris Modell Alapú Képi Információ Feldolgozás Matematikai Módszerei » Laplace-transzformáció » Átviteli függvény

Definíció: Valamely koncentrált paraméterű lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye egy a rendszerre adott $ f=f(t) bemenő függvény és a rendszer válaszául kapott $ y=y(t) válaszfüggvény kiterjesztett frekvencia tartománybeli – azaz a Laplace-transzformáltak – hányadosa, ahol
$$ f(t)=\begin{cases} & \varphi(t), \quad \text{ha}\quad 0\leq t \\ & 0, \quad \text{ha} \quad t<0 \end{cases} \quad \text{\'es} \quad \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|dt<\infty$

$$ w(s)=\frac{\mathcal{L} \left \{ y(t) \right \}}{\mathcal{L} \left \{ f(t) \right \}} =\frac{Y(s)}{F(s)}$ (31. ábra)

31. ábra

A definíció következtében, ha ismerjük egy rendszer átviteli függvényét, akkor adott bemenő függvényre a válasz eképp adható meg:
$$ w(s) =\frac{Y(s)}{F(s)}$

$ Y(s)=w(s)F(s)

$$ y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left \{ w(s)F(s) \right \}=\mathcal{L}^{-1} \left \{ w(s) \mathcal{L}^{-1} \left \{ f(t) \right \} \right \}$

Az előzőekben leírt gondolatmenet alapján egy koncentrált paraméterű lineáris invariáns rendszer esetére az átviteli függvény két polinom hányadosaként írható fel.
$$ w(s)=\frac{b_0+b_1s+b_2s^2+ \tex{...} +b_ms^m}{ a_0+a_1s+a_2s^2+\tex{...}+a_ns^n }=\frac{\sum_{i=1}^mb_is^i}{\sum_{k=1}^na_ks^k }=\frac{P(s)}{N(s)};\quad m<n \quad \text{mellett}$ .

Ha a számláló és a nevező polinomjainak gyöktényezős alakjait írjuk fel, akkor
$$ P(s)=B\prod_{i=1}^m(s-z_i)$ ; ahol $ z_i a számláló gyökei azaz a w(s) zérusai.
$$ N(s)=A\prod_{k=1}^n(s-p_k)$ ; ahol $ p_k a nevező gyökei azaz a w(s) pólusai.

$$ w(s)=\frac{B}{A}\frac{\prod_{i=1}^m(s-z_i) }{\prod_{k=1}^n(s-p_k)}=H \frac{\prod_{i=1}^m(s-z_i) }{\prod_{k=1}^n(s-p_k)}$ , mely felírási mód alapján a 32. ábra jeleníthető meg az átviteli függvény a komplex számsíkon:

32. ábra

Határozzuk meg az átviteli függvény paraméter térbeli függvényét.
Ezt a szokásos inverz Laplace-traszformációval végezzük el azon feltételezés mellett, hogy $$ \forall p_k$ egyszeres pólus.

$$ w(t)=\mathcal{L}^{-1} \left \{ w(s) \right \}=\mathcal{L}^{-1} \left \{ H \frac{\prod_{i=1}^m(s-z_i) }{\prod_{k=1}^n(s-p_k)} \right \}=H_0\delta(t)+\sum_{k=1}^nH_ke^{p_kt}$

Lineáris invariáns rendszerekre a pólus zérus elrendezés az alábbiak szerint írható le:
$$ p_{k}=\sigma_k$ vagy $$ p_{l,l+1}=\sigma_l \pm j\omega_l ,$ azaz $$ p_l = \sigma_l + j\omega_l$ és $$ p_{l+1} = \sigma_l - j\omega_l$ komplex konjugált párokat alkotnak. Hasonló módon írhatók fel a zérusok is.

Ekkor $$ w(t)= H_0\delta(t)+\sum_{i}D_ie^{\sigma_i t} \text{cos}(\omega_it+\varphi_i)$ alakban írható fel kihasználva az Euler-relációt.

A rendszer elemzése szempontjából egy átviteli függvény pólus-zérus elrendezési képe alapján az alábbi fontos definíciók mondhatók ki.

Minimál fázisú rendszer
Definíció: Az olyan lineáris invariáns rendszert, mely átviteli függvényének minden zérusa a bal komplex félsíkon van, azaz $$ \forall\text{Re}(z_k)<0$ minimálfázisú rendszernek nevezzük.

Mindent áteresztő rendszer
Definíció: Az olyan lineáris invariáns rendszert, melynek minden pólusa a bal komplex félsíkon, azaz $$ \forall\text{Re}(p_k)<0$ és az összes zérusa a jobb komplex félsíkon, azaz $$ \forall\text{Re}(z_k)>0$ , és az összes pólus és zérus egymás tükörképei az immaginárius tengelyre ( $$ \forall p_k = -\forall(z_k)^*$ ) mindent áteresztő rendszernek nevezzük.

Tétel: Egy lineáris invariáns rendszer w(s) átviteli függvénye felbontható egy mindent áteresztő és egy minimálfázisú átviteli függvényre.

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Átviteli függvény

Sidebar

Medical Imaging

Site Language: English