Loading...
 
PDF Print

Általános bemenő függvények - Fourier-transzformáció


Általános bemenő függvények

 
Tekintsük az $f=f(t) bemenő függvényt, melyről tudjuk, hogy abszolút integrálható (20.ábra).

Image
20. ábra

 
Tekintsünk egy olyan $g(t) függvényt, mely a $ \left [ -\frac{T}{2} ; \frac{T}{2}\right ] intervallumban megegyezik az $f(t) függvénnyel és ebben az intervallumban periódikus.

$ g(t)=\begin{cases} f(t) \quad \text{\'es\quad peri\'odikus, \quad ha} \quad t\in\left [ -\frac{T}{2} ; \frac{T}{2}\right ] \\ \text{k\

Ezen feltételek szerint a $g(t) és $f(t) függvények a $ \left [ -\frac{T}{2} ; \frac{T}{2}\right ] intervallumban Fourier-sorba fejthető:

$ g(t)=f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{j\omega kt};\quad \text{ahol\quad}c_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-j\omega kt}dt,\quad \text{ahol } t\in \left [ -\frac{T}{2} ; \frac{T}{2}\right ]

Így $ g(t)=f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left ( \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-j\omega kt}dt \right )e^{j\omega kt}

Vezessük be az $ \omega_k=k\omega jelölést és kíséreljük meg a $ T \to \infty határátmenetet végrehajtani.

$ \lim_{T \to \infty}g(t)=\lim_{T \to \infty}f(t)=\lim_{T \to \infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T}\left (\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-j\omega_kt}dt \right )e^{j\omega_kt}

Az látható, hogy az $ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega_ kt}dt < \infty , ill. $ f(t) < \infty létezésének elégséges feltétele:

$ \int_{-\infty}^{\infty} \left | f(t) \right | dt < \infty , azaz $f(t) abszolút integrálhatósága.

Használjuk fel, hogy $ T=\frac{2\pi }{\omega_k} .

Így $ \lim_{T \to \infty}f(t)=\lim_{T \to \infty}g(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega_kt}dt \right )e^{j\omega_kt}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{\omega_k}{2\pi}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega_kt}dt \right )e^{j\omega_kt} .

Vezessük be a következő jelölést: $ F(j\omega_k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega_kt}dt .

Így $ f(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(j\omega_k)e^{j\omega_k t}\omega_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega .

$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left [ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \right ]e^{j\omega t}d\omega

Az itt kapott kettős integrálban az $ F(j\omega)=\mathfrak{F} \left \{ f(t) \right \}=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt hozzárendelést az $f=f(t) függvény Fourier-transzformáltjának nevezzük. Mint az egész gondolatmenet során feltételként szerepelt, jelen esetben is fennáll mint elégséges feltétel a Fourier-transzformáció létezéséhez: $ \int_{-\infty}^{\infty} \left | f(t) \right | dt < \infty , azaz az $f(t) függvény abszolút integrálhatósága.

A kettős integrál ’külső’ integrálja
$ f(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d \omega=\mathfrak{F}^{-1} \left \{ F(j\omega) \right \} a Fourier-transzformáció inverze, azaz az inverz Fourier-transzformáció.
Az a Fourier-transzformáció származtatásából látható, hogy a transzformáció egy operátor. A Fourier-transzformáció az $f=f(t) abszolút integrálható függvények osztályához az $ F(j\omega)=\mathfrak{F} \left \{ f(t) \right \} függvényeket rendeli. Ezt másképp megfogalmazva úgy is nevezhetjük, hogy az $f=f(t) függvények ’valós’ paraméter teréből az $f(t) függvények frekvencia terébe transzformál (általánosított értelembe nevezhetjük absztrakt, ill. általánosított frekvencia térnek).
A Fourier-transzformáció - mint operátor - lineáris operátor:

$ \left.\begin{matrix} \mathfrak{F} \left \{ \sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i(t) \right \}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\mathfrak{F} \left \{ f_i(t) \right \}\\ \\ \mathfrak{F}\left \{f(\lambda t) \right \} =\frac{1}{| \lambda |}F(j\frac{\omega}{\lambda}) \end{matrix}\right\} \quad \text{ahol}\quad \lambda,\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n\in \Gamma

A Fourier-transzformáció fizikai értelmezése

Definíció: Az $f(t) abszolút integrálható függvényhez hozzárendelt $ F(j\omega)=\mathfrak{F}\left\{f(t)\right\} Fourier-transzformáltat az $f(t) függvény komplex spektrumának nevezzük.
$ F(j\omega)=\mathfrak{F}\left\{f(t)\right\} =| F(j\omega) | e^{ j arc(F(j\omega))} , ahol a frekvencia függvényében ábrázolható a komplex spektrum amplitúdó és fázismenete.

$ \left.\begin{matrix} |F(-j\omega)|=|F(j\omega)| \\ \\ arc F(j\omega)=-arcF(j\omega) \end{matrix}\right\} , amely azt jelenti, hogy az amplitúdó menet páros függvény, míg a fázismenet páratlan.

A Fourier-transzformáció leképezési tulajdonságából adódik, hogy $ F(-j\omega)= F^*(j\omega) , ahol * a komplex konjugálás művelete. Az alábbi 21. ábra a komplex spektrum egy lehetséges ábrázolási módját mutatja, mely igen gyakran alkalmazott formája a lineáris rendszerek frekvencia függvényében végzett analízise során.

Image
21. ábra

 
Definíció: Egy $f=f(t) abszolút integrálható függvény energia tartalma:

$ E=\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt

Ezen definíciót írjuk fel az alábbi formában:

$ E=\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t)dt , itt az egyik $f(t) tényezőt fejezzük ki az inverz Fourier-transzformáció formula alapján:

$ f(t)=\mathfrak{F}^{-1} \left \{ F(j\omega) \right \} =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d \omega

$ E=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\left (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d \omega \right )dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)\left [ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{j\omega t}dt \right ]d\omega

Ahol látható, hogy $ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{j\omega t}dt =F(-j\omega)=\mathfrak{F}^{*}\left \{ f(t) \right \}=F^*(j\omega) .

Így $ E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega)F^*(j\omega)d \omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(j\omega)|^2d \omega .

Mivel az amplitúdó spektrum $ |F(j\omega)| páros, ezért $ |F(j\omega)|^2 is páros.

Ennek következménye: $ E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(j\omega)|^2d \omega=2\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty} |F(j\omega)|^2d \omega=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} |F(j\omega)|^2d \omega , amely nem más mint a Parzeval-tétel. ((Parzeval-tétel|((részletezést lásd függelék: Parseval tétel kifejtése))))

Az $'E' energiatartalom kiszámításában szereplő $ |F(j\omega)|^2 függvényt a jel energiaspektrumának nevezzük.

A Fourier-transzformáció főbb tulajdonságai:

Az alábbiakban a Fourier-transzformáció néhány jellegzetességére mutatunk példát, ill. nevezetes függvények Fourier-transzformáltjával ismerkedünk meg. Első lépésként foglalkozzunk a belépő függvénnyel (22. ábra).

Definíció: Az $f=f(t) függvényt belépő függvénynek nevezzük, ha $t<0 esetén $f(t)=0, és $t\geq 0 esetén $ f(t)= \varphi (t) , ahol $ \varphi (t) abszolút integrálható függvény:

$ f=f(t)\cdot 1(t)= \left\{\begin{matrix} & \varphi (t), & \text{ ha } & 0\leq t & \text{ \'es } & \varphi (t) & \text{ abszol\'ut integr\'alhat\'o}\\ & 0,& \text{ ha } & t<0 \end{matrix}\right.

Image
22. ábra

 
Ha $f(t) belépő függvény és abszolút integrálható, akkor komplex spektruma: $ \mathfrak{F} \left \{ f(t) \right \} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}d t= \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}d t .
Az $f(t) függvény a komplex spektrum $ A(\omega) és $ B(\omega) kifejezésekkel valamint a Parzeval tétel alapján eképp írható fel:

(A Parzeval-tétel kifejtéséért kattintson ide)

$ f(t)= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty}\left [ A(\omega)\text{cos}(\omega t)+B(\omega)\text{sin}(\omega t) \right ]d \omega,\quad \text{ahol} \quad f(t)=\left\{\begin{matrix} \varphi(t), & \text{ ha} & 0\leq t \\ 0, & \text{ ha} & 0> t \end{matrix} \right.

Vezessük be $ t=-\tau .

$ f(\tau)= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\left [ A(\omega)\text{cos}(\omega \tau)-B(\omega)\text{sin}(\omega \tau) \right ]d \omega=0,\quad ha\quad\tau>0

Azaz belépő függvényre $ \int_{0}^{\infty} A(\omega)\text{cos}(\omega \tau)d \omega=\int_{0}^{\infty}B(\omega)\text{sin}(\omega \tau) d \omega ha $ \tau>0 és $ t=-\tau

Periódikus függvény Fourier-transzformáltja:
Mint ismeretes az eddigi feltételek alapján a Fourier-transzformáció létezésének elégséges feltétele az $f(t) függvény abszolút integrálhatósága, azaz $ \int_{-\infty}^{\infty} \left | f(t) \right | dt < \infty .
Ezen elégséges feltétel egy periódikus függvényre sem teljesül. Így ezen esetre meg kell kísérelni más módszert. Kiindulásként próbáljuk megadni az egyik legegyszerűbb periódikus függvény az $ f(t)=\text{sin}(\omega_0t) , ill. az $ f(t)=\text{cos}(\omega_0t) Fourier-transzformáltját. Az Euler reláció szerint $ \text{cos}(\omega_0t)+j\text{sin}(\omega_0t)=e^{j\omega_0t} függvény Fourier-transzformáltját érdemes keresni.

Tételezzük fel, hogy az $ f(t)= e^{j\omega_0t} Fourier-transzformáltja Dirac függvény típusú, azaz $ F(j\omega)=k\delta(\omega-\omega_0) . Lásd az alábbi 23. és 24. ábrán.

Image
23. ábra

 

Image
24. ábra

 
A feltételezésünk helyességét az inverz Fourier-transzformáció alapján igazoljuk. Így képezzük az $ F(j\omega)=k\delta(\omega-\omega_0) inverz Fourier-transzformáltját.

$ \mathfrak{F}^{-1}\left \{ k\delta(\omega-\omega_0) \right \}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}k\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega_0 t}d\omega=\frac{1}{2\pi} ke^{j\omega_0 t}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0)d\omega

A Dirac deltáról ismert: $ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0)d\omega=1

$ f(t)=\mathfrak{F}^{-1}\left \{ k\delta(\omega-\omega_0) \right \}=\frac{1}{2\pi}ke^{j\omega_0t} , amiből adódik, hogy $k=2\pi esetén $ f(t)= e^{j\omega_0t} . Ennek egyenes következménye, hogy $ \mathfrak{F}\left \{ e^{j\omega_0t} \right \}=2\pi \delta(\omega-\omega_0) .

Ezt követően egy $ f(t)=f(t-nT),\quad 'T' szerinti általános periódikus függvényre kíséreljük megadni $f(t) Fourier-transzformáltját. Mint ismeretes bármely $f(t) függvény, mely periódikus Fourier-sorba fejthető, azaz

$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j\omega_0nt}c_n,\quad \text{ahol}\quad\omega_0=\frac{2\pi}{T}

$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j\omega_0nt}c_n=_{\cdots} c_{-m}e^{j\omega_0(-m)t}+_{\cdots} +c_{-1}e^{j\omega_0(-1)t}+_{\cdots} +c_{1}e^{j\omega_0t}+c_{2}e^{j\omega_0(2)t}+_{\cdots}+c_{m}e^{j\omega_0(m)t}+_{\cdots}

Mivel a Fourier-transzformáció lineáris transzformáció és erre érvényes a szuperpozíció elve, ezért, ha

$ \mathfrak{F}\left \{e^{j\omega_0nt}c_n \right \}=\mathfrak{F}\left \{f_n(t) \right \}=c_n2\pi\delta(\omega-n\omega_0) ,

Akkor
$ \mathfrak{F}\left \{f(t) \right \}=\mathfrak{F}\left \{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j\omega_0nt} \right \}=2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \delta(\omega-n\omega_0)

 

Belépő periódikus függvény

Legyen $f(t) belépő függvényünk az alábbi $f(t)=1(t)f_{1}(t), ahol $f_{1}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{jk\omega_{0} t} Fourier-sor alakjában felírható periódikus függvény. (25. ábra)

Image
25. ábra

 
A periódikus belépő függvény Fourier-transzformáltja az előbbiek értelmében

$ F(j\omega) = \mathfrak{F}\left\{1(t)f_{1}(t)\right\} = \mathfrak{F}\left\{1(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{jk\omega_{0} t}\right\} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\left[\pi \delta (\omega-k\omega_{0})-\frac{j}{\omega-k\omega_{0}}\right]

Abban az esetben, ha $f(t) belépő függvény egy abszolút integrálható $f_{1}(t) függvény és egy$f_{2}(t) periódikus függvény szuperpozíciójaként áll elő:

$ f(t) = \left[f_{1}(t) + f_{2}(t)\right]1(t); ahol $\int_{-\infty}^{\infty}\left|f_{1}(t)\right|dt < \infty;\quad f_{2}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{jk\omega_{0} t} akkor az $f(t) Fourier-transzformáltja:

$ F(j\omega) = \mathfrak{F}\left\{f(t)\right\}=\mathfrak{F}\left\{\left[f_{1}(t) + \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{jk\omega_{0} t}\right]1(t)\right\} = F_{1}(j\omega) + \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\left[\pi \delta(\omega-k\omega_{0})-\frac{j}{\omega-k\omega_{0}}\right]

Export

Medical Imaging

Site Language: English

Log in as…