A 2D Radon-transzformáció

2D Radon-transzformáció

Definíció

A Radon-transzformáció a lineáris geometriai elemek leírásában bevezetett jelölésekkel két dimenzióban ( $$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{2}, $ t\in \mathbb{R} , \boldsymbol{\omega}\in \mathbb{S}^{1}$ ) egy f valós függvényre:

$$ g\left ( L \right )=\mathfrak{R}f =\int_{L}f\left (\textbf{x} \right )d\textbf{x}$

Válasszuk konvenciónak a $$ t\in \left \{ 0,\infty \right \}$ és $$ \vartheta\in \left \{ 0,2\pi \right \}$ értelmezési tartományokat, ekkor az f függvény Radon-transzformáltja a $$\left ( \vartheta,t \right )}$ változók függvényében:

$$ \mathfrak{R}f\left ( t,\vartheta \right )=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty } { f\left ( \mathbf{x} \right )\delta \left ( t-\boldsymbol{\omega} \mathbf{x} \right )}dxdy= \int_{-\infty }^{\infty } { f\left ( t\boldsymbol{\omega}+s\boldsymbol{\omega}_{\perp} \right )}ds = \int_{-\infty }^{\infty } { f\left ( t \cos \left (\vartheta \right ) - s \sin \left (\vartheta \right ) ,t \sin \left (\vartheta \right ) + s \cos \left (\vartheta \right ) \right )}ds$

A Radon-transzformált létezéséhez meg kell követelnünk, hogy a fenti improprius integrál létezzen (pontosabban, hogy Lebesgue-integrálható legyen). Johan Radon kimutatta, hogy, ha f folytonos és kompakt tartója van, akkor a transzformált egyértelmű.

Példa

Vegyünk példaként egy r sugarú "korongot", mely értéke 1 az r sugáron belül, és 0 egyébként:
$$ f\left ( x,y \right ))=\left\{ \begin{matrix} \left \{ \left (x,y \right ) \mid x^{2}+y^{2} \leq r\right \} : 1 \\ \left \{ \left (x,y \right ) \mid x^{2}+y^{2} > r\right \} : 0 \end{matrix}\right.$

Mivel a függvényérték vagy 1 vagy 0, a Radontranszformált értékét a függvény tartójának határai szabják meg: tetszőleges szögre, egy adott t értéknél a $$ -\sqrt{r^{2}-t^{2}} \to \sqrt{r^{2}-t^{2}}$ tartományon ad nullától különböző értéket. Tehát:

$$ \mathfrak{R}f\left ( t,\vartheta \right )=\int_{-\sqrt{r^{2}-t^{2}} }^{\sqrt{r^{2}-t^{2}} } { 1 } ds = 2\sqrt{r^{2}-t^{2}}$

ha t<r és nulla egyébként. Az eredmény nem meglepően a szögtől független, kompakt tartója van, de szemben az eredeti konstans függvénnyel, maga nem konstans.

A 2D Radon-transzformált ábrázolható a $$\left ( \vartheta,t \right )}$ koordináta-rendszerben, melyet szinogramnak hívunk, és a következő szekcióban foglalkozunk vele.

Export

Medical Imaging

Site Language: English